A figura abaixo mostra o início de uma sequência infinita de quadrados. A medida dos lados dos quadrados Q_1 , Q_2 e Q_3 são, respectivamente, \log(2) , \log(\sqrt{2}) e \log(\sqrt[4]{2}).
A soma das áreas dessa sequência infinita de quadrados é
UFRGS · 2024
Questão 50 — UFRGS 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use \log(2^k) = k \cdot \log 2. Os lados ficam \log 2, \frac12 \log 2, \frac14 \log 2… E as áreas?
Resolução
O que você precisa saber
- O logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base.
- Se os lados formam PG de razão q, as áreas formam PG de razão q².
- A soma infinita de uma PG é o primeiro termo dividido por 1 menos a razão.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a soma das áreas, e não a soma dos lados.
ESTRUTURAR
• Lados: \log 2,\ \frac12\log 2,\ \frac14 \log 2,\ \ldots (razão \frac12).
• Áreas: (\log 2)^2,\ \frac14(\log 2)^2,\ \frac1{16}(\log 2)^2,\ \ldots (razão \frac14).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar a PG das áreas.
A armadilha: usar a razão dos lados, \frac12, na PG das áreas. A área eleva tudo ao quadrado, e a razão vira \frac14.
CALCULAR
S = \frac{(\log 2)^2}{1 - \frac14} = \frac{4}{3}\,(\log 2)^2CONFERIR
As três primeiras áreas somam (1 + 0{,}25 + 0{,}0625)(\log 2)^2 \approx 1{,}31\,(\log 2)^2, um pouco abaixo de 1{,}33 ✓.
Por que as outras tentam: D e E usam propriedades de log que não valem para áreas. A alternativa E, \log(2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt[4]2), é a soma dos três primeiros lados, não das áreas.
Resposta
\frac{4}{3} \cdot [\log(2)]^2.
Alternativa correta
B