O valor de
\log\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \log\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \log\left(1 - \frac{1}{1000}\right)é
UFRGS · 2022
Questão 46 — UFRGS 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva cada parêntese como uma fração só: 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}. Depois junte tudo num único log.
Resolução
O que você precisa saber
- A soma de logaritmos de mesma base é o logaritmo do produto.
- Num produto de frações em cadeia, o denominador de uma cancela o numerador da seguinte.
- No log de base 10, uma potência de 10 dá o próprio expoente.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de uma soma de 999 logaritmos que vira um único log de um número simples.
ESTRUTURAR
Cada termo é \log\frac{n-1}{n}, com n de 2 a 1000:
\log\frac12 + \log\frac23 + \log\frac34 + \cdots + \log\frac{999}{1000}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Trocar a soma de logs pelo log do produto e cancelar em cadeia.
A armadilha: tentar calcular termo a termo, ou achar que o produto fica perto de 1 porque cada fator fica perto de 1. São 999 fatores, e o produto encolhe até \frac{1}{1000}.
CALCULAR
\frac12 \cdot \frac23 \cdot \frac34 \cdots \frac{999}{1000} = \frac{1}{1000}\log\frac{1}{1000} = \log 10^{-3} = -3CONFERIR
Teste com poucos termos: \log\frac12 + \log\frac23 = \log\frac13. O resultado é sempre \log\frac{1}{\text{último denominador}} ✓.
Por que as outras tentam: quem perde a conta dos cancelamentos fica com \frac{1}{100} ou \frac{1}{10} (−2 ou −1), e quem acha que o produto é próximo de 1 marca 0.
Resposta
-3.
Alternativa correta
A