Considere as seguintes afirmações sobre números reais. I. √(a² + b²) = a + b. II. √(a²) = a. III. Se 0 < b < a, então √ab ≤ (a + b)/2. Quais estão corretas? A) Apenas I. B) Apenas III. C) Apenas I e II. D) Apenas II e III. E) I, II e III.

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Questão 47 — UFRGS 2022

Radicais e desigualdade das médias Fácil–média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Considere as seguintes afirmações sobre números reais.

I. \sqrt{a^2 + b^2} = a + b.

II. \sqrt{a^2} = a.

III. Se 0 < b < a, então \sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}.

Quais estão corretas?

(A)

Apenas I.

(B)

Apenas III.

(C)

Apenas I e II.

(D)

Apenas II e III.

(E)

I, II e III.

Resolução

O que você precisa saber

A raiz quadrada não se distribui sobre a soma.
A raiz quadrada de a² é o módulo de a, nunca um número negativo.
Para positivos, a média geométrica nunca passa da média aritmética.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: reconhecer dois erros clássicos com raízes e uma desigualdade verdadeira.

ESTRUTURAR

I e II valem "para números reais" quaisquer: basta um contraexemplo para derrubar.
III é a desigualdade entre a média geométrica e a média aritmética.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Um contraexemplo para cada uma das duas primeiras e uma prova curta para a III.

A armadilha: aceitar a II porque ela vale para a \ge 0. Com a negativo, a raiz dá o oposto de a.

CALCULAR

I. a = 3, b = 4: \sqrt{9 + 16} = 5, mas a + b = 7. Falsa.

II. a = -2: \sqrt{(-2)^2} = \sqrt4 = 2 \ne -2. O correto é \sqrt{a^2} = |a|. Falsa.

III. \left(\sqrt a - \sqrt b\right)^2 \ge 0 \Rightarrow a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0 \Rightarrow \sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}. Verdadeira.

CONFERIR

Com a = 4 e b = 1 na III: \sqrt4 = 2 \le \frac52 ✓.

Por que as outras tentam: a I é o erro de "distribuir" a raiz, e a II parece regra porque vale para positivos. Quem aceita uma delas cai em A, C, D ou E.

Resposta

Apenas III.

Alternativa correta B