Se a e b são as raízes da equação x^2 - 6x + 3 = 0, então o valor de
\left(\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\right)^{-2}é
UFRGS · 2022
Questão 48 — UFRGS 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Não resolva a equação. Some as frações: \frac1a + \frac1b = \frac{a + b}{ab}, e soma e produto saem dos coeficientes.
Resolução
O que você precisa saber
- Em x² + px + q = 0, a soma das raízes é −p e o produto é q.
- A soma dos inversos de dois números é a soma deles dividida pelo produto.
- Expoente −2 inverte a base e eleva ao quadrado.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: uma expressão nas raízes que depende só da soma e do produto.
ESTRUTURAR
• Soma: a + b = 6.
• Produto: ab = 3.
• A base da potência é o inverso de \frac1a + \frac1b.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular \frac1a + \frac1b, montar a base e aplicar o expoente.
A armadilha: errar o sinal do expoente. Com expoente −2, a fração de dentro é invertida de novo, e o resultado é \left(\frac1a + \frac1b\right)^2.
CALCULAR
\frac1a + \frac1b = \frac{a + b}{ab} = \frac63 = 2\left(\frac12\right)^{-2} = 2^2 = 4CONFERIR
As raízes são 3 \pm \sqrt6. Então \frac1a + \frac1b = \frac{6}{9 - 6} = 2 ✓, e a expressão vale 2^2 = 4 ✓.
Por que as outras tentam: quem para em \frac1a + \frac1b = 2 marca 2 (A), e quem usa a soma 6 no lugar marca 6 (C).
Resposta
4.
Alternativa correta
B