Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Sendo a e b números reais positivos quaisquer, considere as afirmações abaixo.
I - Se a > b então a^x > b^x, para qualquer x \in \mathbf{R}.
II - Se a > b > 1, então \frac1a < \frac{2}{a + b} < \frac1b.
III - Se a > b, então \sqrt a > \sqrt b.
Quais estão corretas?
Na I, teste x = -1 ou x = 0. Na II, veja onde fica \frac{a + b}{2} entre b e a e lembre que inverter troca a ordem.
O que a questão quer de verdade: decidir quais desigualdades valem para todos os positivos com a > b.
• I depende do sinal de x.
• II compara os inversos de a, de \frac{a + b}{2} e de b.
• III é a raiz quadrada, que é crescente.
Contraexemplo na I; ordenar e inverter na II; monotonicidade na III.
A armadilha: aceitar a I pensando só em expoentes positivos. Com x = -1, a desigualdade se inverte.
I. a = 4, b = 1, x = -1: \frac14 < 1. E com x = 0, 1 = 1. Falsa.
II. b < \frac{a + b}{2} < a. Invertendo, \frac1a < \frac{2}{a + b} < \frac1b. Verdadeira.
III. A raiz quadrada é crescente para positivos. Verdadeira.
Na II, com a = 3 e b = 2: \frac13 \approx 0{,}33 < \frac25 = 0{,}4 < \frac12 ✓.
Por que as outras tentam: quem pensa só em x > 0 aceita a I e marca C ou E.
Apenas II e III.
