Racionalizando e simplificando
\frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}obtém-se:
Colégio Tiradentes · 2022
Questão 29 — Colégio Tiradentes 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva x - y como uma diferença de quadrados: x = (\sqrt{x})^2.
Resolução
O que você precisa saber
- (a − b)(a + b) = a² − b² (produto da soma pela diferença).
- (√x)² = x quando x ≥ 0.
- Para racionalizar, multiplicamos em cima e embaixo pelo conjugado (troca o sinal do meio).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: tirar as raízes do denominador e simplificar a fração.
ESTRUTURAR
O numerador pode ser fatorado:
x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fatorar o numerador e cancelar o fator igual ao denominador. (Multiplicar pelo conjugado \sqrt{x} + \sqrt{y} dá o mesmo resultado.)
A armadilha: marcar x + y, esquecendo que as raízes continuam no resultado.
CALCULAR
\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}CONFERIR
Teste com x = 9 e y = 4: \dfrac{9 - 4}{3 - 2} = 5 e \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5. ✓
Resposta
O resultado é \sqrt{x} + \sqrt{y}.
Alternativa correta
D