O produto das possíveis soluções da equação
\sqrt{10 - x^2} = x^2 + 2é igual a:
Colégio Tiradentes · 2022
Questão 28 — Colégio Tiradentes 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Eleve os dois lados ao quadrado. Depois troque x^2 por uma letra nova, como y.
Resolução
O que você precisa saber
- Para tirar uma raiz quadrada, elevamos os dois lados da equação ao quadrado.
- Em equação com x⁴ e x², chamar x² de y transforma em equação do 2º grau.
- Depois de elevar ao quadrado, é preciso testar as soluções na equação original.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: resolver a equação, conferir as soluções e multiplicá-las.
ESTRUTURAR
Elevando ao quadrado:
10 - x^2 = (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4x^4 + 5x^2 - 6 = 0ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fazer y = x^2, resolver a equação do 2º grau em y e voltar para x.
A armadilha: multiplicar as raízes em y (1 \cdot (-6) = -6) e procurar esse número. A questão pede as soluções em x.
CALCULAR
Com y = x^2:
y^2 + 5y - 6 = 0 \Rightarrow (y + 6)(y - 1) = 0y = -6 não serve, porque x^2 não pode ser negativo. Sobra y = 1:
x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ ou } x = -1Produto: 1 \cdot (-1) = -1.
CONFERIR
Testando x = 1: \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3 e 1 + 2 = 3. ✓ Com x = -1 dá o mesmo, porque x^2 = 1. ✓
Resposta
O produto das soluções é −1.
Alternativa correta
D