Resolva a equação:
\frac{x-2}{x-1} + \frac{3}{x-2} = \frac{4x-3}{x^2-3x+2}O conjunto solução, com x \in \mathbb{R}, é:
Colégio Tiradentes · 2025
Questão 31 — Colégio Tiradentes 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Fatore o denominador da direita: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Antes de qualquer conta, anote quais valores de x são proibidos.
Resolução
O que você precisa saber
- Numa equação com x no denominador, os valores que zeram algum denominador ficam fora do conjunto solução.
- x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2): dois números de soma 3 e produto 2.
- Depois de multiplicar pelo denominador comum, toda solução encontrada precisa ser testada nas condições.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: resolver a equação e descartar as soluções que anulam algum denominador.
Nota editorial: na transcrição da prova usada como fonte, o segundo denominador aparece como x + 2. Corrigimos para x − 2 porque é a versão que fecha com o gabarito oficial {4} e com a resposta da banca a um recurso, que resolveu a equação chegando a x² − 5x + 4 = 0.
ESTRUTURAR
• x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)
• Condições de existência: x \neq 1 e x \neq 2.
• Denominador comum: (x-1)(x-2).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Multiplicar os dois lados pelo denominador comum, resolver a equação do 2º grau que aparece e, no fim, filtrar pelas condições.
A armadilha: esquecer a condição de existência e marcar {1; 4} (alternativa E). O 1 zera os denominadores x − 1 e x² − 3x + 2.
CALCULAR
\frac{x-2}{x-1} + \frac{3}{x-2} = \frac{4x-3}{(x-1)(x-2)}(x-2)^2 + 3(x-1) = 4x - 3x^2 - 4x + 4 + 3x - 3 = 4x - 3x^2 - 5x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; (x-1)(x-4) = 0x = 1 \text{ ou } x = 4Como x \neq 1, sobra só x = 4.
CONFERIR
Para x = 4: \tfrac{2}{3} + \tfrac{3}{2} = \tfrac{13}{6} e \tfrac{4 \cdot 4 - 3}{16 - 12 + 2} = \tfrac{13}{6} ✓.
Resposta
S = {4}: o 1 é descartado porque anula denominadores.
Alternativa correta
D