Simplificando a expressão algébrica
\frac{x^3 + 2x^2y + xy^2 - y^3 - 2xy^2 - yx^2}{x^3 - xy^2 + yx^2 - y^3}até torná-la irredutível, obtemos:
Colégio Tiradentes · 2022
Questão 27 — Colégio Tiradentes 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Antes de fatorar, junte os termos parecidos do numerador. Depois compare com o denominador.
Resolução
O que você precisa saber
- Termos semelhantes têm as mesmas letras com os mesmos expoentes (yx² é o mesmo que x²y).
- Fatoração por agrupamento: colocar em evidência o que é comum a dois termos.
- Uma fração cujo numerador é igual ao denominador (diferente de zero) vale 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: reduzir os termos semelhantes e perceber que numerador e denominador são a mesma expressão.
Nota editorial: na transcrição da prova usada como fonte, o denominador aparece como x^3 + xy^2 + yx^2 - y^3. Com esse sinal a fração não simplifica para nenhuma alternativa. A versão que fecha com o gabarito oficial é x^3 - xy^2 + yx^2 - y^3, usada aqui.
ESTRUTURAR
Numerador: x^3 + 2x^2y + xy^2 - y^3 - 2xy^2 - yx^2
• termos com x^2y: 2x^2y - x^2y = x^2y
• termos com xy^2: xy^2 - 2xy^2 = -xy^2
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar o numerador e fatorar os dois por agrupamento.
A armadilha: tentar cancelar termos soltos, como "cortar x^3 com x^3". Só se cancelam fatores, nunca parcelas.
CALCULAR
Numerador reduzido:
x^3 + x^2y - xy^2 - y^3Agrupando:
x^2(x + y) - y^2(x + y) = (x + y)(x^2 - y^2)O denominador x^3 - xy^2 + yx^2 - y^3 tem os mesmos quatro termos, só em outra ordem. Logo:
\frac{(x + y)(x^2 - y^2)}{(x + y)(x^2 - y^2)} = 1CONFERIR
Teste com x = 2 e y = 1: numerador 8 + 8 + 2 - 1 - 4 - 4 = 9; denominador 8 - 2 + 4 - 1 = 9. A fração vale 1. ✓
Resposta
A expressão simplificada é igual a 1.
Alternativa correta
E