Questão 164 — ENEM 2024

Triângulo equilátero e circuncentro Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P₁, P₂ e P₃, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

(A)

2 e 3.

(B)

4 e 5.

(C)

5 e 6.

(D)

7 e 8.

(E)

8 e 9.

Resolução

O que você precisa saber

A altura de um triângulo equilátero de lado ℓ é ℓ√3 / 2.
No triângulo equilátero, o ponto equidistante dos vértices é o centro, e ele fica a 2/3 da altura a partir do vértice.
√3 vale cerca de 1,73.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: a distância do centro de um triângulo equilátero de lado 10 até um vértice.

ESTRUTURAR

Triângulo equilátero de lado 10 km.
H está à mesma distância dos três vértices, então H é o centro do triângulo.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular a altura do triângulo e pegar dois terços dela.

A armadilha: parar na altura inteira, cerca de 8,7 km (alternativa E), ou usar só um terço dela, cerca de 2,9 km (alternativa A). A distância de H ao vértice é dois terços da altura.

CALCULAR

h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1{,}73 = 8{,}65 \text{ km}d = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5{,}77 \text{ km}

CONFERIR

Outro caminho: o triângulo H, ponto médio de P₂P₃ e P₂ tem ângulo de 30° em P₂ e cateto 5. Então d = \dfrac{5}{\cos 30^\circ} = \dfrac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77 ✓, que está entre 5 e 6.

Resposta

Cerca de 5,77 km, um valor entre 5 e 6.

Alternativa correta C

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H8 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Em palavras de salaUma situação com uma figura de verdade (campo de futebol, caixa-d'água, caneca, silo) e uma medida para calcular. Você escolhe a grandeza certa, a fórmula certa e cuida de como cada dimensão entra nela.

Por que é H8

A distância vem das propriedades do triângulo equilátero: o hospital fica no centro, a dois terços da altura. Resolver situação-problema com conhecimentos geométricos é a H8.

A H8 nesta questão

A altura do triângulo de lado 10 é 5√3, cerca de 8,66 km. Dois terços dela dão cerca de 5,77 km, entre 5 e 6.

O que muda na hora de resolver

A H8 pede para usar a propriedade certa da figura. O centro divide a altura em 2 para 1. Quem para na altura inteira marca E e quem usa um terço marca A.

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