Considere o pentágono regular de lado 1 e duas de suas diagonais, conforme representado na figura abaixo.
A área do polígono sombreado é
UFRGS · 2016
Questão 39 — UFRGS 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
No pentágono regular, as diagonais que saem de um vértice dividem o ângulo de 108° em três ângulos de 36°. Ache os ângulos do triângulo sombreado.
Resolução
O que você precisa saber
- Ângulo interno do pentágono regular: 108°.
- As duas diagonais de um vértice dividem esse ângulo em 36° + 36° + 36°.
- Área do triângulo: metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do triângulo TRX, com T no alto, R à direita e X no cruzamento das diagonais.
ESTRUTURAR
• Em R: ângulo entre o lado RT e a diagonal RX: 36°.
• Em T: ângulo entre o lado TR e a diagonal TX: 72°.
• Em X: 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ.
Ângulos iguais em T e X: o triângulo é isósceles com RX = RT = 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar a fórmula da área com os dois lados de medida 1 e o ângulo de 36° entre eles.
A armadilha: usar o ângulo de 72°, que não fica entre os dois lados conhecidos.
CALCULAR
A = \frac12 \cdot RT \cdot RX \cdot \text{sen}\,36^\circ = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \text{sen}\,36^\circ = \frac{\text{sen}\,36^\circ}{2}CONFERIR
Valor aproximado: \frac{0{,}588}{2} \approx 0{,}29. O pentágono inteiro tem área perto de 1,72, e o triângulo sombreado é um pedaço pequeno do topo ✓.
Por que as outras tentam: D (\text{sen}\,36^\circ) esquece o \frac12; B usa o ângulo de 72°, que não está entre os dois lados de medida 1.
Resposta
\frac{\text{sen}\,36^\circ}{2}.
Alternativa correta
A