Uma pessoa desenhou uma flor construindo semicírculos sobre os lados de um hexágono regular de lado 1, como na figura abaixo.
A área dessa flor é
UFRGS · 2017
Questão 41 — UFRGS 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Área da flor = hexágono + 6 semicírculos. Cada semicírculo tem diâmetro 1, ou seja, raio \frac12.
Resolução
O que você precisa saber
- Hexágono regular de lado L: 6 triângulos equiláteros, área 6 · L² · raiz de 3 ÷ 4.
- Semicírculo de raio r: metade de π r².
- O diâmetro do semicírculo é o lado do hexágono.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: somar a área do hexágono com a dos 6 semicírculos.
ESTRUTURAR
A = A_{\text{hexágono}} + 6 \cdot \frac{\pi r^2}{2}, \quad r = \frac12ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular as duas partes e pôr \frac32 em evidência.
A armadilha: usar raio 1 nos semicírculos. O lado 1 é o diâmetro.
CALCULAR
A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \frac{\sqrt3}{4} = \frac{3\sqrt3}{2}6 \cdot \frac{\pi \cdot \frac14}{2} = \frac{3\pi}{4}A = \frac{3\sqrt3}{2} + \frac{3\pi}{4} = \frac32\left(\sqrt3 + \frac{\pi}{2}\right)CONFERIR
Os 6 semicírculos juntos valem 3 círculos de raio \frac12: 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} ✓.
Por que as outras tentam: B conta círculos inteiros em vez de semicírculos (6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}); C e D usam metade da área do hexágono.
Resposta
\frac32\left(\sqrt3 + \frac{\pi}{2}\right).
Alternativa correta
A