Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r com centros nos outros dois vértices do quadrado e tangentes aos círculos de raio R, como ilustra a figura abaixo.
A área da região sombreada é
Os dois círculos grandes se tocam no centro do quadrado: 2R é a diagonal. Cada círculo pequeno toca um grande sobre um lado: R + r = 1.
O que a questão quer de verdade: a área do quadrado que sobra fora dos quatro quartos de círculo.
• Diagonal: 2R = \sqrt2 \Rightarrow R = \frac{\sqrt2}{2}.
• Lado: R + r = 1 \Rightarrow r = 1 - \frac{\sqrt2}{2}.
• Dentro do quadrado ficam 2 quartos de raio R e 2 quartos de raio r.
Calcular R^2 + r^2 e subtrair \frac{\pi}{2}(R^2 + r^2) do quadrado.
A armadilha: achar que os pequenos tocam os grandes na diagonal. A tangência é sobre o lado do quadrado, onde R + r = 1.
Valor aproximado: 1 + (0{,}707 - 1) \cdot 3{,}14 \approx 0{,}08, uma área pequena, como na figura ✓.
Por que as outras tentam: A, B, C e D dão mais que 1, a área do quadrado inteiro (B, por exemplo, \approx 1{,}30). Nenhuma delas pode ser só um pedaço do quadrado.
1 + \left(\frac{\sqrt2}{2} - 1\right)\pi.
