Considere um pentágono regular ABCDE de lado 1. Tomando os pontos médios de seus lados, constrói-se um pentágono FGHIJ, como na figura abaixo.
A medida do lado do pentágono FGHIJ é
UFRGS · 2017
Questão 43 — UFRGS 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Olhe o triângulo FBG: BF = BG = \frac12 e o ângulo em B é o ângulo interno do pentágono, 108°.
Resolução
O que você precisa saber
- Ângulo interno do pentágono regular: 180° · 3 ÷ 5 = 108°.
- A altura de um triângulo isósceles divide o ângulo do topo e a base ao meio.
- sen 54° = cos 36°, porque 54° + 36° = 90°.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a base FG do triângulo isósceles FBG.
ESTRUTURAR
Triângulo FBG: BF = BG = \frac12, ângulo \hat{B} = 108^\circ.
A altura por B divide o ângulo em 54^\circ + 54^\circ e FG ao meio.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o triângulo retângulo formado pela altura.
A armadilha: parar na metade de FG e marcar \frac{\cos 36^\circ}{2}.
CALCULAR
\frac{FG}{2} = \frac12 \cdot \text{sen}\,54^\circ \Rightarrow FG = \text{sen}\,54^\circ = \cos 36^\circCONFERIR
Por outro caminho: F e G são pontos médios de AB e BC, então FG é base média do triângulo ABC e vale metade da diagonal AC. A diagonal do pentágono de lado 1 é 2\cos 36^\circ (no triângulo ABC, os ângulos da base medem 36°), então FG = \cos 36^\circ ✓.
Por que as outras tentam: D é a metade de FG, e E (2\cos 36^\circ) é a diagonal AC, o dobro de FG.
Resposta
\cos 36^\circ.
Alternativa correta
B