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ENEM · 2023

Questão 136 — ENEM 2023

Cone, tronco de cone e cilindro (volume) Média–difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.

O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para \pi.

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

(A)

1 198,8

(B)

1 296,0

(C)

1 360,8

(D)

4 665,6

(E)

4 860,0

Resolução

O que você precisa saber

Volume do cone: um terço da área da base vezes a altura.
Cones semelhantes têm raio e altura na mesma razão.
Volume do cilindro: área da base vezes a altura.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o volume de madeira que sobra (cone grande menos cone pequeno menos cilindro do furo) e, depois, a massa desse volume.

ESTRUTURAR

• Cone grande: raio 9 cm e altura 36 cm.

• Cone pequeno retirado: raio 3 cm, semelhante ao grande.

• Furo: cilindro de raio 3 cm, com a altura do tronco.

• Densidade: 0,6 g por centímetro cúbico; \pi \approx 3.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Achar a altura do cone pequeno por semelhança, calcular os três volumes e subtrair.

A armadilha: dar ao cilindro a altura de 36 cm do cone original. O furo vai de base a base do tronco, que tem 36 − 12 = 24 cm. Outro tropeço é esquecer de tirar o cone pequeno: sobram 2 268 cm³, que dão 1 360,8 g (alternativa C).

CALCULAR

\frac{h}{36} = \frac{3}{9} \Rightarrow h = 12 \text{ cm}V_{\text{grande}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9^2 \cdot 36 = 2\,916 \text{ cm}^3V_{\text{pequeno}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 12 = 108 \text{ cm}^3V_{\text{furo}} = 3 \cdot 3^2 \cdot 24 = 648 \text{ cm}^3V = 2\,916 - 108 - 648 = 2\,160 \text{ cm}^3m = 0{,}6 \cdot 2\,160 = 1\,296 \text{ g}

CONFERIR

O tronco sozinho tem 2 808 cm³; o furo tira 648 cm³, menos de um quarto. A massa de 1 296 g é coerente com uma peça de cerca de 2 litros de madeira.

Resposta

1 296,0 gramas.

Alternativa correta B

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H8 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Em palavras de salaUma situação com uma figura de verdade (campo de futebol, caixa-d'água, caneca, silo) e uma medida para calcular. Você escolhe a grandeza certa, a fórmula certa e cuida de como cada dimensão entra nela.

Por que é H8

A escultura sai de um cone do qual se tiram outro cone e um cilindro, e a massa vem do volume que sobra. Resolver situação-problema com conhecimentos geométricos de espaço e forma é a H8.

A H8 nesta questão

O cone grande tem 2 916 cm³. O cone retirado, de raio 3 e altura 12 (por semelhança), tem 108 cm³. O furo, de raio 3 e altura 24, tem 648 cm³. Sobram 2 160 cm³, que dão 1 296 g.

O que muda na hora de resolver

A H8 pede para descrever cada sólido com suas medidas reais antes da conta. O furo vai de base a base do tronco, então a altura dele é 24. Quem esquece o cone pequeno chega a 1 360,8, a alternativa C.

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