RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

No triângulo retângulo,
o ângulo escolhe os lados.

Seno, cosseno e tangente não são três fórmulas isoladas. São três comparações entre lados vistas a partir de um mesmo ângulo.

TRÊS RAZÕES

O nome muda conforme o par de lados comparado.

\[\sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\]
\[\cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\]
\[\tan\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}\]
EXEMPLO BÁSICO

Um mesmo triângulo produz as três razões.

Considere um triângulo retângulo 3–4–5 e um ângulo θ cujo cateto oposto mede 3 e o adjacente mede 4.

SENO
\[\sin\theta=\frac35\]

Compara o cateto oposto com a hipotenusa.

COSSENO
\[\cos\theta=\frac45\]

Compara o cateto adjacente com a hipotenusa.

TANGENTE
\[\tan\theta=\frac34\]

Compara diretamente os dois catetos.

Triângulo retângulo 3-4-5 com ângulo theta
O mesmo desenho permite ler seno, cosseno e tangente sem trocar de triângulo.
Leitura estratégica

Se o problema fornece 3 e 5, seno conecta diretamente os dados. Se fornece 4 e 5, cosseno. Se fornece 3 e 4, tangente.

ÂNGULOS NOTÁVEIS

30°, 45° e 60° podem ser reconstruídos a partir de triângulos especiais.

Memorizar a tabela funciona; entender de onde ela vem é mais seguro.

Triângulo especial 30-60-90 com lados proporcionais a 1, raiz de 3 e 2
Triângulo 30°–60°–90°: lados proporcionais a 1, √3 e 2.
Triângulo especial 45-45-90 com catetos iguais a 1 e hipotenusa raiz de 2
Triângulo 45°–45°–90°: catetos iguais e hipotenusa √2 vezes o cateto.
30°

Triângulo 30°–60°–90°.

\[\sin30^\circ=\frac12\]
\[\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\]
45°

Triângulo isósceles retângulo.

\[\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\]
\[\tan45^\circ=1\]
60°

Complementar de 30°.

\[\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\]
\[\cos60^\circ=\frac12\]
EXEMPLO 1

Altura por tangente.

Uma pessoa está a 20 m de um prédio e observa o topo sob ângulo de 45°. Desprezando a altura dos olhos:

\[\tan45^\circ=\frac{h}{20}\]
\[1=\frac{h}{20}\Rightarrow h=20\text{ m}\]
MAIS DOIS EXEMPLOS

Escolha a razão que evita criar incógnitas desnecessárias.

EXEMPLO 2

Hipotenusa conhecida.

Uma rampa de 10 m forma 30° com o chão. A altura atingida é:

\[\sin30^\circ=\frac{h}{10}\Rightarrow h=5\text{ m}\]
EXEMPLO 3

Cateto adjacente a partir da hipotenusa.

Uma escada de 8 m forma 60° com o chão. A distância da base à parede é:

\[\cos60^\circ=\frac{x}{8}\Rightarrow x=4\text{ m}\]
EXEMPLO 4 • ÂNGULO DESCONHECIDO

Às vezes, os lados são conhecidos e o próprio ângulo é a incógnita.

Em um triângulo retângulo, o cateto oposto a θ mede 6 e o adjacente mede 8. Como os dois catetos são conhecidos, a tangente é a relação mais direta:

\[\tan\theta=\frac{6}{8}=0{,}75\]
\[\theta=\arctan(0{,}75)\approx36{,}9^\circ\]
SITUAÇÃO ESTRATÉGICA

Nem toda altura começa no chão.

Uma pessoa com olhos a 1,70 m do solo observa o topo de uma árvore a 12 m de distância horizontal, sob ângulo de 45°.

\[\tan45^\circ=\frac{h-1{,}70}{12}\]
\[1=\frac{h-1{,}70}{12}\Rightarrow h=13{,}70\text{ m}\]
ERROS CLÁSSICOS

O erro geralmente acontece antes da conta.

Confundir oposto e adjacente.

Esses nomes dependem do ângulo de referência.

Usar seno só porque apareceu ângulo.

Primeiro veja quais lados aparecem no problema.

Esquecer a altura do observador.

Em problemas reais, às vezes é preciso somá-la ao final.