LEIS DOS SENOS E COSSENOS

Sem ângulo reto,
procure a relação que fecha o triângulo.

As duas leis resolvem triângulos quaisquer, mas partem de estruturas diferentes. A escolha correta reduz bastante a conta.

LEI DOS SENOS

Compare cada lado com o seno do ângulo oposto.

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]

O ponto central é a palavra oposto: lado a fica diante de ângulo A, lado b diante de B e assim por diante.

Triângulo ABC mostrando a correspondência entre lados a, b, c e os ângulos opostos A, B, C
O lado minúsculo fica diante do ângulo de mesma letra maiúscula: a ↔ A, b ↔ B e c ↔ C.
LEI DOS COSSENOS

Ela generaliza Pitágoras para qualquer ângulo.

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]

Se A = 90°, então cos 90° = 0 e a expressão vira:

\[a^2=b^2+c^2\]
Triângulo para a Lei dos Cossenos com lado a oposto ao ângulo A e lados b e c formando esse ângulo
Na fórmula de a², o ângulo A está entre os lados b e c; o lado a fica oposto a A.
DOIS EXEMPLOS DE LEITURA

O dado que falta costuma revelar a lei mais curta.

INTERMEDIÁRIO • SENOS

Dois ângulos e um lado.

Se A = 40°, B = 65° e a = 10, primeiro encontre:

\[C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ\]

Depois, por exemplo, para encontrar b:

\[\frac{10}{\sin40^\circ}=\frac{b}{\sin65^\circ}\]
INTERMEDIÁRIO • COSSENOS

Três lados e um ângulo procurado.

Se a = 7, b = 8 e c = 5, então:

\[7^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cos A\]
\[49=89-80\cos A\Rightarrow \cos A=\frac12\]

Logo, A = 60°.

QUAL LEI USAR?

Uma leitura de dados resolve metade do problema.

ASA / AAS

Dois ângulos e um lado.

Descubra o terceiro ângulo e use a Lei dos Senos.

SAS

Dois lados e o ângulo entre eles.

Use a Lei dos Cossenos para encontrar o terceiro lado.

SSS

Os três lados.

Use a Lei dos Cossenos para encontrar um ângulo.

EXEMPLO ESTRATÉGICO • LEI DOS SENOS

Dois lados e um ângulo oposto podem exigir uma segunda leitura.

Considere A = 30°, a = 8 e b = 10. Pela Lei dos Senos:

\[\frac{8}{\sin30^\circ}=\frac{10}{\sin B}\]
\[\sin B=\frac{10\cdot0{,}5}{8}=0{,}625\]

Uma possibilidade é B ≈ 38,7°. Como seno é positivo também no 2º quadrante, B ≈ 141,3° pode ser possível se a soma dos ângulos continuar menor que 180°.

Triângulo com lados 5, 7 e 8 e o ângulo A destacado no vértice oposto ao lado 8
O maior ângulo está diante do maior lado: se 8 é o maior lado, o ângulo procurado deve estar no vértice oposto.
Desenho como conferência

O diagrama não precisa estar em escala. Ele serve para associar corretamente lado e ângulo antes da Lei dos Cossenos.

EXEMPLO GUIADO

Três lados conhecidos: encontre o maior ângulo.

Um triângulo possui lados 5, 7 e 8. O maior ângulo está oposto ao maior lado, 8.

INTERPRETAR. Temos três lados e queremos um ângulo.

ESTRUTURAR. Use Lei dos Cossenos com a = 8, b = 5 e c = 7.

\[8^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos A\]
\[64=74-70\cos A\]
\[\cos A=\frac17\]

CONFERIR. Como cos A é positivo, A é agudo, coerente com os lados do triângulo.

SITUAÇÃO ESTRATÉGICA

O sinal do cosseno já conta algo sobre o ângulo.

Se, ao aplicar a Lei dos Cossenos, você chega a:

\[\cos A=-\frac12\]

então A = 120°. Antes mesmo de calcular exatamente, o sinal negativo já indica que o ângulo é obtuso.