Trigonometria também mede o que não conseguimos alcançar diretamente.
Área, altura, distância e diagonais podem ser obtidas combinando geometria com uma relação trigonométrica bem escolhida.
ÁREA TRIGONOMÉTRICA
Dois lados e o ângulo entre eles já determinam a área.
\[A=\frac{bc\sin A}{2}\]
A fórmula vem de A = base × altura / 2. Se tomamos c como base, a altura é h = b sen A; basta substituir.
A altura é a componente perpendicular de b: h = b·sen A.
MAIS DOIS EXEMPLOS
A mesma fórmula de área resolve estruturas bem diferentes.
BÁSICO
Triângulo equilátero de lado 6.
Dois lados medem 6 e o ângulo entre eles é 60°:
\[A=\frac{6\cdot6\cdot\sin60^\circ}{2}=9\sqrt3\]
INTERMEDIÁRIO
Paralelogramo com lados 8 e 5 e ângulo de 30°.
Ele pode ser dividido em dois triângulos iguais:
\[A=8\cdot5\cdot\sin30^\circ=20\]
Observe que aqui não aparece o fator 1/2, porque os dois triângulos recompõem o paralelogramo.
APLICAÇÕES TÍPICAS
O contexto muda; o triângulo escondido é quase sempre o mesmo.
Altura indireta: distância horizontal + ângulo de elevação.Uma diagonal transforma quadriláteros em triângulos resolvíveis.Área: dois lados e o ângulo compreendido entre eles.
ALTURA INDIRETA
Ângulo de elevação.
Distância horizontal + ângulo geralmente levam à tangente.
\[\tan\theta=\frac{h}{d}\]
DIAGONAL
Transforme o problema em triângulo.
Em quadriláteros, polígonos e estruturas, uma diagonal pode criar o triângulo necessário para seno ou cosseno.
ÁREA
Use o seno do ângulo interno.
Quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos, a área sai diretamente.
EXEMPLO 3 • APLICAÇÃO PRÁTICA
Um terreno triangular pode ser medido sem descobrir todos os lados.
Dois lados de um terreno medem 14 m e 9 m, formando entre si um ângulo de 40°. A área é:
\[A=\frac{14\cdot9\cdot\sin40^\circ}{2}\]
\[A\approx40{,}5\text{ m}^2\]
EXEMPLO 2
Duas posições de observação.
Um observador vê o topo de uma torre sob 30°. Depois avança 20 m em direção à torre e o ângulo passa a 45°. Seja x a nova distância até a base e h a altura.
