A área da região determinada pela interseção das desigualdades y > \dfrac32 x - \dfrac32, y > -\dfrac23 x + 5 e (x - 3)^2 + (y - 3)^2 < 9 é
UFRGS · 2020
Questão 35 — UFRGS 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O círculo tem centro (3, 3). Teste: as duas retas passam por esse centro? E os coeficientes angulares 3/2 e −2/3, o que dizem?
Resolução
O que você precisa saber
- (x − a)² + (y − b)² < r² é o interior do círculo de centro (a, b) e raio r.
- Retas com coeficientes angulares de produto −1 são perpendiculares.
- Duas retas perpendiculares pelo centro dividem o círculo em 4 quartos iguais.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: perceber que as retas se cruzam no centro, em ângulo reto, e cortam um quarto do disco.
ESTRUTURAR
Centro (3, 3), raio 3. Em x = 3: \tfrac32 \cdot 3 - \tfrac32 = 3 e -\tfrac23 \cdot 3 + 5 = 3. Produto dos coeficientes: \tfrac32 \cdot \left(-\tfrac23\right) = -1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
A região acima das duas retas, dentro do círculo, é um quarto do disco.
A armadilha: achar que a região é meio disco, porque cada desigualdade sozinha corta metade.
CALCULAR
\frac14 \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4}CONFERIR
O ponto (3, 5), dentro do círculo, satisfaz as duas: 5 > 3 e 5 > 3. Ele está no quarto de cima, entre as duas retas ✓.
Por que as outras tentam: D (9\pi/2) é meio disco; E é o disco inteiro; A e B usam o raio 3 sem elevar ao quadrado.
Resposta
\dfrac{9\pi}{4}.
Alternativa correta
C