Dadas as funções reais de variável real f e g, definidas por f(x) = x³ e g(x) = ∛x, o intervalo, tal que f(x) > g(x), é A) (0; +∞). B) (-∞; -1) ∪ (0; 1). C) (-1; 1). D) (-∞; -1) ∪ (1; +∞). E) (-1; 0) ∪ (1; +∞).

Alternativa E. (-1; 0) ∪ (1; +∞).

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Questão 29 — UFRGS 2018

Inequação com potência e raiz cúbica Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Dadas as funções reais de variável real f e g, definidas por f(x) = x^3 e g(x) = \sqrt[3]{x}, o intervalo, tal que f(x) > g(x), é

(A)

(0;\,+\infty).

(B)

(-\infty;\,-1) \cup (0;\,1).

(C)

(-1;\,1).

(D)

(-\infty;\,-1) \cup (1;\,+\infty).

(E)

(-1;\,0) \cup (1;\,+\infty).

Resolução

O que você precisa saber

x³ e a raiz cúbica de x são iguais em x = −1, 0 e 1.
Entre 0 e 1, elevar ao cubo diminui o número e a raiz cúbica aumenta.
As duas funções são ímpares: o que acontece para x positivo se inverte para x negativo.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: onde o cubo fica acima da raiz cúbica.

ESTRUTURAR

Com u = \sqrt[3]{x}, a desigualdade vira u^9 > u, ou u(u^8 - 1) > 0.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Estudar o sinal de u(u^8 - 1), ou testar um ponto em cada intervalo.

A armadilha: resolver como se valesse só para positivos e "espelhar" o intervalo (1;\,+\infty) para (-\infty;\,-1). Para negativos, a desigualdade se inverte.

CALCULAR

| x | x^3 | \sqrt[3]{x} | f > g? |

|---|---|---|---|

| -2 | -8 | \approx -1{,}26 | não |

| -\frac18 | \approx -0{,}002 | -\frac12 | sim |

| \frac18 | \approx 0{,}002 | \frac12 | não |

| 2 | 8 | \approx 1{,}26 | sim |

Então f(x) > g(x) para x \in (-1;\,0) \cup (1;\,+\infty).

CONFERIR

Pelo sinal de u(u^8 - 1): positivo quando u > 1 ou -1 < u < 0, e u tem o mesmo sinal e a mesma ordem de x ✓.

Por que as outras tentam: D espelha o intervalo positivo sem inverter a desigualdade, e B é o complementar da resposta (onde f < g).

Resposta

(-1;\,0) \cup (1;\,+\infty).

Alternativa correta E