Considere as funções f e g definidas por f(x) = \text{sen}\,x e g(x) = \cos x.
O número de raízes da equação f(x) = g(x) no intervalo [-2\pi,\ 2\pi] é
UFRGS · 2016
Questão 44 — UFRGS 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
\text{sen}\,x = \cos x quando \text{tg}\,x = 1, ou seja, x = \frac{\pi}{4} + k\pi. Conte quantos desses estão entre -2\pi e 2\pi.
Resolução
O que você precisa saber
- sen x = cos x vale em 45° e em 225° na primeira volta.
- Essas soluções se repetem a cada π.
- O intervalo de −2π a 2π tem duas voltas completas.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantas soluções de \text{sen}\,x = \cos x existem em duas voltas.
ESTRUTURAR
x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \text{ inteiro}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Listar os valores no intervalo.
A armadilha: contar só a primeira volta [0, 2\pi] e esquecer os negativos.
CALCULAR
-\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}.
O próximo, \frac{9\pi}{4}, passa de 2\pi, e o anterior, -\frac{11\pi}{4}, fica abaixo de -2\pi. São 4 raízes.
CONFERIR
Duas soluções por volta (45° e 225°) e duas voltas: 2 \cdot 2 = 4 ✓.
Resposta
4.
Alternativa correta
B