Na circunferência de raio 1, representada na figura a seguir, os pontos M e N são tais que o arco de extremidades A e M mede \frac{\pi}{2}\,rad e o arco de extremidades A e N mede -\frac{\pi}{3}\,rad.
A distância entre os pontos M e N é
UFRGS · 2019
Questão 37 — UFRGS 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
M está a 90° no sentido anti-horário e N a 60° no sentido horário. O ângulo central entre eles mede 90^\circ + 60^\circ.
Resolução
O que você precisa saber
- Um ponto do ciclo no ângulo θ tem coordenadas (cos θ, sen θ).
- A distância entre dois pontos sai por Pitágoras ou pela Lei dos Cossenos.
- cos 150° = −cos 30°.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o comprimento da corda MN.
ESTRUTURAR
• M = (0, 1).
• N = \left(\cos(-60^\circ), \operatorname{sen}(-60^\circ)\right) = \left(\frac12, -\frac{\sqrt3}{2}\right).
• Ângulo \widehat{MON} = 150^\circ.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Lei dos Cossenos no triângulo OMN (ou distância entre pontos).
A armadilha: usar o ângulo de 30° (a diferença 90^\circ - 60^\circ), que dá \sqrt{2 - \sqrt3}, alternativa A. M e N estão em lados opostos de A.
CALCULAR
MN^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 150^\circ = 2 + \sqrt3MN = \sqrt{2 + \sqrt3}CONFERIR
Pelas coordenadas: MN^2 = \left(\frac12\right)^2 + \left(1 + \frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + 1 + \sqrt3 + \frac34 = 2 + \sqrt3 ✓. E \sqrt{2 + \sqrt3} \approx 1{,}93, menor que o diâmetro 2, como deve ser ✓.
Por que as outras tentam: A usa 30° em vez de 150°; B e E esquecem a raiz.
Resposta
\sqrt{2 + \sqrt3}.
Alternativa correta
C