A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro nos pontos médios dos lados de um octógono regular de lado 2.
A área da região sombreada é
UFRGS · 2014
Questão 40 — UFRGS 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Cada semicírculo tem raio 1. Para o octógono, encaixe-o num quadrado e tire os quatro cantos.
Resolução
O que você precisa saber
- O diâmetro de cada semicírculo é o lado do octógono: raio 1.
- Octógono regular de lado l: quadrado de lado l + l√2 menos 4 triângulos nos cantos.
- Cada canto é um triângulo retângulo isósceles de catetos l sobre raiz de 2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: somar a área do octógono e a dos 8 semicírculos.
ESTRUTURAR
• Semicírculos: 8 \cdot \frac{\pi \cdot 1^2}{2} = 4\pi.
• Octógono de lado 2: os cantos têm catetos \sqrt{2}, e o quadrado tem lado 2 + 2\sqrt{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Quadrado menos cantos, mais os semicírculos.
A armadilha: errar o lado do quadrado que envolve o octógono.
CALCULAR
(2 + 2\sqrt{2})^2 = 4 + 8\sqrt{2} + 8 = 12 + 8\sqrt{2}\text{cantos} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4A_{\text{oct}} = 12 + 8\sqrt{2} - 4 = 8 + 8\sqrt{2}A = 4\pi + 8 + 8\sqrt{2}CONFERIR
Pela fórmula 2(1 + \sqrt{2})l^2 com l = 2: 8 + 8\sqrt{2} ✓.
Por que as outras tentam: todas têm o 4\pi certo; elas diferem só na área do octógono, que é onde costuma estar o erro.
Resposta
4\pi + 8 + 8\sqrt{2}.
Alternativa correta
A