Observe a figura abaixo.
No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é
UFRGS · 2013
Questão 42 — UFRGS 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os dois semicírculos se sobrepõem numa "lente". Se você subtrair os dois semicírculos do quadrado, a lente foi tirada duas vezes.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do semicírculo de raio 1: pi sobre 2.
- Área da união = soma das áreas menos a interseção.
- Lente entre dois quartos de círculo de raio 1: duas vezes (pi sobre 4 menos 1/2).
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: calcular a área do quadrado fora da união dos dois semicírculos.
Atenção: o texto diz que os diâmetros são AB e BC, mas a figura mostra os semicírculos sobre AB e AD. Nos dois casos os semicírculos ficam em lados vizinhos, e a conta e a resposta são as mesmas.
ESTRUTURAR
Os semicírculos se cortam no vértice comum e no centro do quadrado. A lente entre eles é formada por dois segmentos circulares de 90° em círculos de raio 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Sombreada = quadrado − (semicírculo + semicírculo − lente).
A armadilha: subtrair os dois semicírculos e esquecer de devolver a lente, que foi descontada duas vezes.
CALCULAR
Segmento de 90° em raio 1: \dfrac{\pi}{4} - \dfrac12. Lente: 2\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac12\right) = \dfrac{\pi}{2} - 1.
\text{União} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{\pi}{2} + 1\text{Sombreada} = 4 - \frac{\pi}{2} - 1 = 3 - \frac{\pi}{2}CONFERIR
3 - \pi/2 \approx 1{,}43, um pouco mais de um terço do quadrado (área 4), compatível com a figura ✓.
Por que as outras tentam: D (4 - \pi) tira os dois semicírculos sem devolver a lente; B (4 - \pi/2) tira só um semicírculo.
Resposta
3 - \dfrac{\pi}{2}.
Alternativa correta
E