Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo.
Se a medida do lado do quadrado é 2, então a área do triângulo ABC mede
UFRGS · 2013
Questão 43 — UFRGS 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os círculos se tocam no centro do quadrado: o raio é metade da diagonal. Depois, AB é o lado menos o raio.
Resolução
O que você precisa saber
- A diagonal do quadrado de lado 2 mede 2 raiz de 2.
- Círculos tangentes de mesmo raio: a distância entre os centros é 2r.
- Triângulo retângulo com catetos iguais a x tem área x ao quadrado sobre 2.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar o raio, os catetos AB e AC e a área do triângulo retângulo ABC.
ESTRUTURAR
2r = 2\sqrt2 \Rightarrow r = \sqrt2. B está a \sqrt2 do vértice de baixo, então AB = 2 - \sqrt2; da mesma forma AC = 2 - \sqrt2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Área = \dfrac{AB \cdot AC}{2}, pois o ângulo em A é reto.
A armadilha: esquecer de dividir por 2 e marcar (2 - \sqrt2)^2.
CALCULAR
A = \frac{(2 - \sqrt2)^2}{2} = \frac{4 - 4\sqrt2 + 2}{2} = \frac{6 - 4\sqrt2}{2} = 3 - 2\sqrt2CONFERIR
3 - 2\sqrt2 \approx 0{,}17: triângulo pequeno, como na figura ✓.
Por que as outras tentam: B (6 - 4\sqrt2) é (2 - \sqrt2)^2, sem dividir por 2; D e E multiplicam por π, mas a região é um triângulo, não um setor.
Resposta
3 - 2\sqrt2.
Alternativa correta
A