Os círculos desenhados na figura abaixo são tangentes dois a dois.
A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é
UFRGS · 2012
Questão 44 — UFRGS 2012
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ligue os quatro centros: forma-se um quadrado de lado 2r. A região sombreada é esse quadrado menos quatro quartos de círculo.
Resolução
O que você precisa saber
- Círculos tangentes de raio r têm centros a 2r de distância.
- Cada canto do quadrado dos centros contém um quarto de círculo.
- Quatro quartos de círculo somam um círculo inteiro.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: calcular a área sombreada em função de r e dividir.
ESTRUTURAR
Quadrado dos centros: (2r)^2 = 4r^2. Quartos de círculo: 4 \cdot \tfrac{\pi r^2}{4} = \pi r^2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Sombreada = 4r^2 - \pi r^2; razão = \dfrac{\pi r^2}{(4 - \pi) r^2}.
A armadilha: usar a diagonal do quadrado ou o quadrado que envolve os quatro círculos (lado 4r).
CALCULAR
\frac{\pi r^2}{r^2(4 - \pi)} = \frac{\pi}{4 - \pi}CONFERIR
\tfrac{\pi}{4 - \pi} \approx \tfrac{3{,}14}{0{,}86} \approx 3{,}7: cada círculo é quase 4 vezes a região sombreada, como mostra a figura ✓.
Por que as outras tentam: C e E mudam só o numerador; o numerador certo é a área de um círculo, \pi r^2, e não 3r² nem 2πr².
Resposta
\dfrac{\pi}{4 - \pi}.
Alternativa correta
D