Uma estudante de uma escola estadual na cidade de Pelotas, quando estava resolvendo uma prova de matemática, se deparou com uma equação polinomial do 2º grau, dada por x² - 2x + 2 = 0, sem solução no universo dos números reais. Sendo assim, quais foram as raízes complexas encontradas pela estudante? A) S = {-1 - i, -1 + i} B) S = {-i, i} C) S = {2 + i, 2 - i} D) S = {1 + i, 1 - i} E) S = {-2 + i, -2 - i} F) I.R.

Alternativa D. S = {1 + i, 1 - i}.

Questão 15 PAVE 2 2019: Números complexos: equação do 2º grau com Δ

Uma estudante de uma escola estadual na cidade de Pelotas, quando estava resolvendo uma prova de matemática, se deparou com uma equação polinomial do 2º grau, dada por x^2 - 2x + 2 = 0, sem solução no universo dos números reais. Sendo assim, quais foram as raízes complexas encontradas pela estudante?

(A)

S = \{-1 - i, -1 + i\}

(B)

S = \{-i, i\}

(C)

S = \{2 + i, 2 - i\}

(D)

S = \{1 + i, 1 - i\}

(E)

S = \{-2 + i, -2 - i\}

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

i² = −1, então √(−4) = 2i.
Bhaskara vale também com Δ negativo: as raízes saem complexas conjugadas, a ± bi.
A soma das raízes de ax² + bx + c = 0 é −b/a, e o produto é c/a.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: as duas raízes complexas de x^2 - 2x + 2 = 0.

ESTRUTURAR

• a = 1, b = -2, c = 2.

• \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Aplicar Bhaskara com \sqrt{\Delta} imaginária.

A armadilha: trocar o sinal de -b. Com b = -2, -b = +2; quem usa -2 chega a -1 \pm i (alternativa A).

CALCULAR

\Delta = 4 - 8 = -4 \qquad \sqrt{-4} = 2ix = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i

CONFERIR

Soma das raízes: (1 + i) + (1 - i) = 2 = -\frac{b}{a} ✓. Produto: (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2 = \frac{c}{a} ✓.

Por que as outras tentam: A erra o sinal de -b (a soma daria -2). C divide só a parte imaginária por 2. E junta os dois erros. B ignora o termo -2x: seriam as raízes de x^2 + 1 = 0.

Resposta

S = \{1 + i,\ 1 - i\}.

Alternativa correta D