Considere a equação
|Z|^2 + 2\overline{Z} = 8,onde Z é um número complexo, |Z| e \overline{Z} representam, respectivamente, o módulo e o conjugado do mesmo número. Sendo assim, é correto afirmar que a soma das raízes dessa equação é:
PAVE 2 · 2013
Questão 18 — PAVE 2 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva Z = a + bi. Então |Z|^2 = a^2 + b^2 e \overline{Z} = a - bi. Separe parte real e parte imaginária: o lado direito, 8, não tem parte imaginária.
Resolução
O que você precisa saber
- Z = a + bi: |Z|² = a² + b² e Z̄ = a − bi.
- Dois complexos são iguais quando as partes reais e as imaginárias são iguais.
- Soma das raízes de x² + px + q = 0: −p.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: todos os complexos Z que satisfazem a equação, e a soma deles.
ESTRUTURAR
• Z = a + bi, com a, b reais.
• (a^2 + b^2) + 2(a - bi) = 8 + 0i.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar partes reais e imaginárias.
A armadilha: tratar Z como número real desde o início, ou marcar só uma raiz (2). Há duas raízes, e a pergunta é a soma delas.
CALCULAR
Parte imaginária: -2b = 0 \iff b = 0.
Parte real: a^2 + 2a = 8 \iff a^2 + 2a - 8 = 0 \iff (a + 4)(a - 2) = 0
Z = 2 \quad \text{ou} \quad Z = -4\text{soma} = 2 + (-4) = -2CONFERIR
Z = 2: 4 + 4 = 8 ✓. Z = -4: 16 - 8 = 8 ✓. Pela soma das raízes de a^2 + 2a - 8 = 0: -\frac{2}{1} = -2 ✓.
Por que as outras tentam: C (2) é uma das raízes, ou a soma com o sinal trocado. B, D e E supõem uma parte imaginária que a equação não permite: como b = 0, as raízes são reais.
Resposta
A soma das raízes é -2.
Alternativa correta
A