Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na figura abaixo, o gráfico representa a densidade linear (em g/cm) de uma barra de 3 cm, em função de seu comprimento. Sendo assim, pode-se interpretar que a área delimitada pela curva do gráfico e as retas x = 0, x = 3, y = 0 representam a massa da barra. Sabendo que a curva do gráfico assume a forma de arcos circulares nos intervalos [0 cm, 1 cm] e [1 cm, 2 cm] e de uma reta no intervalo [2 cm, 3 cm], então a massa da barra, em g, é:
Os dois arcos são quartos de círculo de raio 1. No primeiro, o quarto de círculo é somado a um quadrado; no segundo, ele é tirado de um retângulo. O que acontece com os \pi?
O que a questão quer de verdade: a área entre o gráfico e o eixo x, de x = 0 a x = 3.
• De 0 a 1: arco de centro (0, 1) e raio 1, de (0, 2) a (1, 1).
• De 1 a 2: arco de centro (1, 2) e raio 1, de (1, 1) a (2, 2).
• De 2 a 3: segmento de (2, 2) a (3;\ 0{,}5).
Calcular cada faixa de 1 cm separadamente e somar.
A armadilha: tratar os dois arcos do mesmo jeito. O primeiro é convexo para cima (o quarto de círculo fica embaixo do arco e soma área); o segundo é côncavo (o quarto de círculo fica em cima do arco, fora da região, e é descontado).
Faixa [0, 1]: quadrado 1 \times 1 mais um quarto de círculo:
A_1 = 1 + \frac{\pi}{4}Faixa [1, 2]: retângulo 1 \times 2 menos o quarto de círculo que fica acima do arco:
A_2 = 2 - \frac{\pi}{4}Faixa [2, 3]: trapézio de bases 2 e 0,5 e altura 1:
A_3 = \frac{(2 + 0{,}5) \cdot 1}{2} = \frac{5}{4}m = A_1 + A_2 + A_3 = 1 + \frac{\pi}{4} + 2 - \frac{\pi}{4} + \frac54 = \frac{17}{4} \text{ g}Os \pi se cancelam, e a resposta racional combina com as alternativas ✓. Estimativa: A_1 \approx 1{,}79, A_2 \approx 1{,}21, A_3 = 1{,}25; soma \approx 4{,}25 = \frac{17}{4} ✓.
Por que as outras tentam: todas as alternativas são 3 + (algo em quartos), ou seja, diferem só na faixa da reta. A (\frac{19}{4}) lê o fim da reta em 1,5; C (\frac{15}{4}) usa um triângulo de base 1 e altura 1,5 no lugar do trapézio; D e E não saem de uma leitura natural da figura.
A massa da barra é \frac{17}{4} g.
