Na figura abaixo, os triângulos ADE e BCE são equiláteros.
Nessas condições, a área do quadrilátero ABCD em função de x, em unidades de área, é
PAVE 2 · 2016
Questão 16 — PAVE 2 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O quadrilátero se divide em três triângulos: ADE, DEC e ECB. Em E, os ângulos dos dois equiláteros somam 120^\circ. Quanto sobra para o ângulo DEC?
Resolução
O que você precisa saber
- Área do triângulo equilátero de lado ℓ: ℓ²√3/4.
- Área de um triângulo com dois lados a e b e o ângulo θ entre eles: (a · b · sen θ)/2.
- Ângulos em torno de um ponto sobre uma reta somam 180°.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área de ABCD, somando as áreas dos três triângulos em que ele se divide.
ESTRUTURAR
• ADE: equilátero de lado x.
• BCE: equilátero de lado 3x.
• DEC: lados ED = x e EC = 3x, com ângulo \widehat{DEC} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar as três áreas.
A armadilha: somar só os dois equiláteros (x^2 + 9x^2, ou seja, \frac{10x^2\sqrt3}{4}) e esquecer o triângulo do meio, DEC.
CALCULAR
A_{ADE} = \frac{x^2\sqrt3}{4} \qquad A_{BCE} = \frac{(3x)^2\sqrt3}{4} = \frac{9x^2\sqrt3}{4}A_{DEC} = \frac{x \cdot 3x \cdot \operatorname{sen} 60^\circ}{2} = \frac{3x^2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{3x^2\sqrt3}{4}A_{ABCD} = \frac{(1 + 9 + 3)\,x^2\sqrt3}{4} = \frac{13x^2\sqrt3}{4}CONFERIR
Conferindo o ângulo: em E, os ângulos \widehat{AED} = 60^\circ, \widehat{DEC} e \widehat{CEB} = 60^\circ ficam do mesmo lado da reta AB e somam 180^\circ; então \widehat{DEC} = 60^\circ ✓.
Por que as outras tentam: E (\frac{9x^2\sqrt3}{4}) é só o triângulo BCE. B (\frac{7x^2\sqrt3}{4}) sai de subtrair o triângulo do meio em vez de somar (1 + 9 - 3). A e C não correspondem a uma divisão da figura.
Resposta
\frac{13x^2\sqrt{3}}{4}.
Alternativa correta
D