Considere a região hachurada R, na figura abaixo.
O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo e, em unidades de volume, é
PAVE 2 · 2016
Questão 17 — PAVE 2 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Gire a figura mentalmente. Até a altura 3 forma-se um cilindro; de 3 a 6, um cone. E o buraco branco embaixo, ao girar, vira o quê?
Resolução
O que você precisa saber
- Volume do cilindro: π r² h.
- Volume do cone: π r² h / 3.
- Volume da esfera: 4π r³/3; a semiesfera tem metade: 2π r³/3.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do sólido que R gera ao girar em torno do eixo e.
Lendo a figura: o arco é um quarto de circunferência de raio 2 com centro na origem (ele vai de 2 no eixo e até 2 no eixo horizontal, com a marca de ângulo reto na origem). A região R está acima desse arco e abaixo da linha que liga (0, 6) a (2, 3).
ESTRUTURAR
• Retângulo de 0 a 3 (largura 2) → cilindro de r = 2 e h = 3.
• Triângulo de 3 a 6 → cone de r = 2 e h = 3.
• Quarto de círculo de raio 2 (fora de R) → semiesfera de raio 2, que deve ser retirada.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Volume = cilindro + cone − semiesfera.
A armadilha: retirar a esfera inteira, e não a semiesfera. O quarto de círculo girando em torno do eixo gera só a metade de cima de uma esfera.
CALCULAR
V_{\text{cil}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = 12\pi \qquad V_{\text{cone}} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}{3} = 4\piV_{\text{semiesf}} = \frac{2\pi \cdot 2^3}{3} = \frac{16\pi}{3}V = 12\pi + 4\pi - \frac{16\pi}{3} = \frac{48\pi - 16\pi}{3} = \frac{32\pi}{3}CONFERIR
O resultado é positivo e menor que o sólido sem buraco (16\pi = \frac{48\pi}{3}) ✓.
Por que as outras tentam: A (\frac{16\pi}{3}) retira a esfera inteira: 16\pi - \frac{32\pi}{3}. B (\frac{20\pi}{3}) esquece o cone: 12\pi - \frac{16\pi}{3}. C e E não saem dessa decomposição.
Resposta
\frac{32\pi}{3} u.v.
Alternativa correta
D