PAVE 2 · 2016

Questão 15 — PAVE 2 2016

Equação trigonométrica: redução a equação do 2º grau em sen x Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Se 0 \leq x \leq \pi, a soma das soluções da equação \cos^2 x - \operatorname{sen}(\pi - x) = \frac{1}{4} é

(A)

2\pi.

(B)

3\pi.

(C)

\pi.

(D)

\frac{\pi}{6}.

(E)

\frac{5\pi}{6}.

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

sen(π − x) = sen x.
cos² x = 1 − sen² x (relação fundamental).
O seno vale entre −1 e 1: raízes fora disso são descartadas.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: todas as soluções da equação entre 0 e \pi, somadas.

ESTRUTURAR

• \operatorname{sen}(\pi - x) = \operatorname{sen} x.

• Troca: s = \operatorname{sen} x.

• Equação: 1 - s^2 - s = \frac14.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Resolver a equação em s, descartar a raiz impossível e achar os ângulos no intervalo.

A armadilha: achar só x = \frac{\pi}{6} e esquecer o ângulo do 2º quadrante, que tem o mesmo seno.

CALCULAR

1 - s^2 - s = \frac14 \iff s^2 + s - \frac34 = 0 \iff 4s^2 + 4s - 3 = 0s = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8} \implies s = \frac12 \text{ ou } s = -\frac32

s = -\frac32 é impossível. Com \operatorname{sen} x = \frac12 em [0, \pi]: x = \frac{\pi}{6} ou x = \frac{5\pi}{6}.

\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi

CONFERIR

Testando x = \frac{\pi}{6}: \cos^2 \frac{\pi}{6} - \operatorname{sen}\frac{5\pi}{6} = \frac34 - \frac12 = \frac14 ✓. Com x = \frac{5\pi}{6}, \cos^2 também vale \frac34 e o seno vale \frac12 ✓.

Por que as outras tentam: D (\frac{\pi}{6}) e E (\frac{5\pi}{6}) são só uma das duas soluções. A e B aparecem quando se aceitam soluções fora de [0, \pi] ou se conta a raiz impossível.

Resposta

A soma das soluções é \pi.

Alternativa correta C