Coloque o fator em evidência.
\[x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0\]
x = 0 ou x = 5.
EQUAÇÕES • 2º GRAUAntes de Bhaskara,
Antes de Bhaskara,
procure a estrutura.
Uma equação quadrática pode revelar suas raízes por fatoração, produto nulo, relações entre raízes ou discriminante. A melhor técnica é a que deixa a estrutura mais visível.
FORMA GERAL
O discriminante antecipa o comportamento das raízes reais.
\[ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0\]
\[\Delta=b^2-4ac\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\]
Δ > 0: duas raízes reais distintas. Δ = 0: uma raiz real dupla. Δ < 0: nenhuma raiz real.
Nem toda quadrática pede a fórmula completa.
Procure dois números compatíveis.
\[x^2-7x+12=0\Rightarrow(x-3)(x-4)=0\]
x = 3 ou x = 4.
Use quando a fatoração não está evidente.
\[2x^2+x-3=0\Rightarrow\Delta=25\]
x = 1 ou x = −3/2.
SOMA E PRODUTO
As relações de Viète permitem ler as raízes pelos coeficientes.
\[x_1+x_2=-\frac ba\qquad x_1x_2=\frac ca\]
Elas não são um truque isolado. Se a equação possui raízes x₁ e x₂, podemos escrevê-la como:
\[a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\]
Comparando com ax² + bx + c = 0, surgem naturalmente a soma e o produto.
EXEMPLO RÁPIDO
Se a soma e o produto encaixam, as raízes aparecem sem fórmula longa.
Considere:
\[x^2-5x+6=0\]
Como a = 1, procuramos dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6.
\[2+3=5\qquad 2\cdot3=6\]
Logo, as raízes são 2 e 3. Essa leitura é especialmente eficiente quando os valores são inteiros simples.
Soma e produto servem para muito mais do que “adivinhar” raízes.
Descubra relações sem calcular as raízes.
Para 3x² − 5x − 2 = 0:
\[x_1+x_2=\frac53\qquad x_1x_2=-\frac23\]
Conhecendo raízes, monte a equação.
Se as raízes são 2 e −5 e a = 1:
\[(x-2)(x+5)=0\Rightarrow x^2+3x-10=0\]
Use a relação pedida para encontrar um coeficiente.
Se x² − 6x + k = 0 tem produto das raízes igual a 8:
\[x_1x_2=k=8\]
Uma questão pode pedir informação sobre as raízes sem pedir as raízes.
Para 3x² − 5x − 2 = 0, determine a soma e o produto das raízes.
INTERPRETAR. A questão pede relações entre raízes, não os valores individuais.
ESTRUTURAR. Identifique a = 3, b = −5 e c = −2.
CALCULAR.
\[x_1+x_2=-\frac{-5}{3}=\frac53\qquad x_1x_2=\frac{-2}{3}\]
CONFERIR. Não foi necessário aplicar Bhaskara porque nenhuma raiz individual foi solicitada.
ERROS
Escolher uma técnica longa também pode ser um erro estratégico.
01. Identificar a, b e c antes de colocar a equação igual a zero.
02. Esquecer o sinal de b no discriminante ou em −b.
03. Usar produto nulo sem antes fatorar corretamente.
04. Aplicar Bhaskara quando uma fatoração simples resolve em uma linha.