Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na figura abaixo, o hexágono é regular de lado 6 cm.
Sabendo que A e B são pontos médios de dois lados do hexágono, indicados na figura, e coincidentes com os centros das duas circunferências de mesmo raio, tangentes entre si, o valor, em cm², da área pintada de preto é
As circunferências se tocam no centro O do hexágono, então o raio é a metade da distância entre os lados opostos: 3\sqrt3. Use a simetria: calcule só a metade esquerda da mancha de cima e multiplique por 4.
O que a questão quer de verdade: a área das duas regiões pretas, que ficam entre os lados do hexágono (perto dos vértices de cima e de baixo) e os arcos das duas circunferências.
Lendo a figura: o hexágono tem um vértice em cima e outro embaixo, e A e B são os pontos médios dos dois lados verticais. Como as circunferências têm o mesmo raio e se tocam, o ponto de contato é o meio de AB, ou seja, o centro O do hexágono.
Coordenadas com O na origem (em cm):
• A = (-3\sqrt3,\ 0), B = (3\sqrt3,\ 0); raio r = AO = 3\sqrt3.
• Vértice de cima: V = (0,\ 6). Vértice de cima à esquerda: (-3\sqrt3,\ 3).
• M = ponto médio do lado entre esses dois vértices: M = \left(-\frac{3\sqrt3}{2},\ \frac92\right).
• AM = \sqrt{\frac{27}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{27} = 3\sqrt3 = r: a circunferência de centro A corta esse lado exatamente em M.
A metade esquerda da mancha de cima é o quadrilátero AMVO menos o setor da circunferência de centro A entre M e O. As quatro metades (esquerda e direita, em cima e embaixo) são iguais.
A armadilha: tentar "hexágono menos dois semicírculos". Os semicírculos saem do hexágono (passam por fora dos lados inclinados), então essa conta não vale.
Ângulo do setor: \overrightarrow{AM} = \left(\frac{3\sqrt3}{2},\ \frac92\right) faz com \overrightarrow{AO} (horizontal) um ângulo de tangente \frac{9/2}{3\sqrt3/2} = \sqrt3, ou seja, 60^\circ.
\text{setor} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 27 = \frac{9\pi}{2}Quadrilátero AMVO, cortado pela diagonal MO: o triângulo AMO tem base AO = 3\sqrt3 (no eixo x) e altura \frac92 (a altura de M); o triângulo MVO tem base VO = 6 (no eixo y) e altura \frac{3\sqrt3}{2} (a distância de M ao eixo y).
\text{área}(AMVO) = \frac{3\sqrt3 \cdot \frac92}{2} + \frac{6 \cdot \frac{3\sqrt3}{2}}{2} = \frac{27\sqrt3}{4} + \frac{18\sqrt3}{4} = \frac{45\sqrt3}{4}\text{metade de uma mancha} = \frac{45\sqrt3}{4} - \frac{9\pi}{2}\text{área preta} = 4\left(\frac{45\sqrt3}{4} - \frac{9\pi}{2}\right) = 45\sqrt3 - 18\pi = 9(5\sqrt3 - 2\pi)Valor aproximado: 9(8{,}660 - 6{,}283) \approx 21{,}4\ \text{cm}^2. O hexágono tem \frac{6 \cdot 36\sqrt3}{4} = 54\sqrt3 \approx 93{,}5\ \text{cm}^2; as manchas ocupam cerca de 23% dele, o que combina com a figura ✓.
Por que as outras tentam: A (6\sqrt{3 - \pi}) nem é um número real, porque 3 - \pi < 0. B (\pi - \sqrt3 \approx 1{,}4) é pequena demais. C (6\pi\sqrt3 \approx 32{,}6) é grande demais. E (10(3\sqrt3 - \pi) \approx 20{,}5) fica perto de 21,4, e por isso pega quem só estima; ela não sai da geometria da figura.
9(5\sqrt{3} - 2\pi) cm².
