Na figura abaixo, está representado um trapézio retângulo ACDE.
Nessas condições, se \cos\alpha = \frac{1}{8}, então o valor de \cos\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{sen}(\pi - \beta) é
PAVE 2 · 2014
Questão 14 — PAVE 2 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Antes de mexer na figura, simplifique a expressão: quanto vale \cos\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) em função de \operatorname{sen}\beta? E \operatorname{sen}(\pi - \beta)?
Resolução
O que você precisa saber
- cos(β + π/2) = −sen β.
- sen(π − β) = sen β.
- Antes de calcular ângulos numa figura, veja se a expressão pedida não se simplifica sozinha.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de \cos\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{sen}(\pi - \beta).
ESTRUTURAR
• \cos\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\beta\cos\frac{\pi}{2} - \operatorname{sen}\beta\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = -\operatorname{sen}\beta.
• \operatorname{sen}(\pi - \beta) = \operatorname{sen}\pi\cos\beta - \cos\pi\operatorname{sen}\beta = \operatorname{sen}\beta.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar a expressão com as fórmulas de soma de arcos. Os dados da figura e o \cos\alpha não são necessários.
A armadilha: gastar tempo calculando \beta pela figura (lei dos cossenos, ângulos do trapézio) antes de olhar para a expressão.
CALCULAR
\cos\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{sen}(\pi - \beta) = -\operatorname{sen}\beta + \operatorname{sen}\beta = 0CONFERIR
Teste com um ângulo qualquer, \beta = \frac{\pi}{6}: \cos\frac{2\pi}{3} + \operatorname{sen}\frac{5\pi}{6} = -\frac12 + \frac12 = 0 ✓. O resultado vale para todo \beta.
Nota editorial: com as medidas da figura, o ponto E fica 11 - 8 = 3 unidades à direita de A, a altura do trapézio é \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt7 e BE = \sqrt{3^2 + 7} = 4. Pela lei dos cossenos no triângulo ABE, 36 = 16 + 16 - 32\cos\alpha, o que dá \cos\alpha = -\frac18, e não \frac18. A diferença não muda nada, porque a resposta não depende de \alpha.
Por que as outras tentam: B, C, D e E supõem que o resultado depende de \beta e convidam a calcular \operatorname{sen}\beta pela figura; com as reduções corretas, os dois termos se cancelam.
Resposta
O valor é 0.
Alternativa correta
A