Um triângulo isósceles tem perímetro 16 cm, com o cosseno de cada ângulo congruente igual a \frac{3}{5}.
A área desse triângulo é
PAVE 2 · 2015
Questão 14 — PAVE 2 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Trace a altura relativa à base: ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos. Nele, cosseno do ângulo da base = (metade da base) ÷ (lado). Com \cos = \frac35, pense no triângulo 3, 4, 5.
Resolução
O que você precisa saber
- No triângulo isósceles, os ângulos congruentes são os da base, e a altura relativa à base cai no ponto médio dela.
- cos θ = cateto adjacente ÷ hipotenusa.
- sen² θ + cos² θ = 1: com cos θ = 3/5, sen θ = 4/5.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os lados do triângulo isósceles e a altura, para calcular a área.
ESTRUTURAR
• Lados congruentes: L. Base: b.
• Na metade do triângulo: \cos\theta = \frac{b/2}{L} = \frac35, então \frac{b}{2} = \frac{3L}{5}.
• Altura: h = L \operatorname{sen}\theta = \frac{4L}{5}.
• Perímetro: 2L + b = 16.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Escrever a base em função de L, usar o perímetro e calcular \frac{b \cdot h}{2}.
A armadilha: achar que o \frac35 é o cosseno do ângulo do vértice (o de cima). "Cada ângulo congruente" quer dizer os dois ângulos iguais, que são os da base.
CALCULAR
b = \frac{6L}{5} \qquad 2L + \frac{6L}{5} = 16 \iff \frac{16L}{5} = 16 \iff L = 5b = 6 \qquad h = \frac{4 \cdot 5}{5} = 4A = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12\ \text{cm}^2CONFERIR
Lados 5, 5 e 6: perímetro 16 ✓; na metade, \cos\theta = \frac{3}{5} ✓. Pela fórmula de Heron, com p = 8: A = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12 ✓.
Por que as outras tentam: 24 seria esquecer de dividir por 2, e não está entre as alternativas. As outras (18, 10, 16, 14) não correspondem ao triângulo 5, 5, 6, que é o único com esses dados.
Resposta
12 cm².
Alternativa correta
C