A área do triângulo retângulo cujos catetos medem \operatorname{sen}\alpha e \cos\alpha é
PAVE 2 · 2015
Questão 15 — PAVE 2 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Área do triângulo retângulo: cateto vezes cateto, dividido por 2. Depois troque \operatorname{sen}\alpha \cos\alpha usando \operatorname{sen}(2\alpha) = 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do triângulo retângulo: (cateto × cateto) ÷ 2.
- Arco duplo: sen(2α) = 2 · sen α · cos α, logo sen α · cos α = sen(2α)/2.
- cos(2α) = cos² α − sen² α: é outra fórmula, que não envolve o produto sen α · cos α.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: escrever \frac{\operatorname{sen}\alpha \cdot \cos\alpha}{2} em termos de arco duplo.
ESTRUTURAR
• Área: A = \frac{\operatorname{sen}\alpha \cdot \cos\alpha}{2}.
• \operatorname{sen}\alpha\cos\alpha = \frac{\operatorname{sen}(2\alpha)}{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir o produto pela fórmula do arco duplo.
A armadilha: lembrar só de \operatorname{sen}\alpha\cos\alpha = \frac{\operatorname{sen}(2\alpha)}{2} e esquecer a divisão por 2 da área, marcando A. São duas divisões por 2.
CALCULAR
A = \frac{\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\operatorname{sen}(2\alpha)}{2} = \frac{\operatorname{sen}(2\alpha)}{4}CONFERIR
Teste com \alpha = 45^\circ: os catetos valem \frac{\sqrt2}{2} e a área é \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt2}{2} = \frac14. Pela resposta: \frac{\operatorname{sen} 90^\circ}{4} = \frac14 ✓.
Por que as outras tentam: A (\frac{\operatorname{sen}(2\alpha)}{2}) é o produto \operatorname{sen}\alpha\cos\alpha, sem dividir por 2. C multiplica em vez de dividir. D e E confundem com \cos(2\alpha); com \alpha = 45^\circ elas dão 0, e a área não pode ser zero.
Resposta
\frac{\operatorname{sen}(2\alpha)}{4}.
Alternativa correta
B