Considere a planificação do sólido formado por duas faces quadradas e por quatro trapézios congruentes, conforme medidas indicadas na figura representada abaixo.
O volume desse sólido é
UFRGS · 2015
Questão 46 — UFRGS 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O sólido é um tronco de pirâmide de bases 4 e 2. A altura de cada face (trapézio) não é a altura do tronco: faça o corte pelo meio.
Resolução
O que você precisa saber
- Altura da face: Pitágoras com o lado 2 e a metade da diferença das bases.
- No corte pelo meio, a altura do tronco é cateto de um triângulo com hipotenusa igual à altura da face.
- Volume do tronco: altura sobre 3, vezes a soma das duas áreas mais a raiz do produto delas.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura do tronco de pirâmide e, com ela, o volume.
ESTRUTURAR
Cada trapézio tem bases 4 e 2 e lados 2. A metade da diferença das bases é 1.
\text{altura da face} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}No corte pelo meio do tronco: h^2 + 1^2 = (\sqrt{3})^2, então h = \sqrt{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a fórmula do volume do tronco com áreas 16 e 4.
A armadilha: usar \sqrt{3}, a altura da face, como altura do sólido.
CALCULAR
V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{3}\left(16 + 4 + 8\right) = \frac{28\sqrt{2}}{3}CONFERIR
Pela diferença de pirâmides: a pirâmide inteira tem altura 2\sqrt{2} e volume \frac{16 \cdot 2\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{3}; a de cima, \frac{4\sqrt{2}}{3}. Diferença: \frac{28\sqrt{2}}{3} ✓.
Por que as outras tentam: A (\frac{16\sqrt{2}}{3}) é o volume de uma pirâmide de base 16 e altura \sqrt{2}, que ignora a base de cima.
Resposta
\frac{28\sqrt{2}}{3}.
Alternativa correta
B