Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e altura de 12 cm será seccionado por um plano paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes da secção tenham o mesmo volume.
A altura do cone resultante da secção deve, em cm, ser
UFRGS · 2014
Questão 45 — UFRGS 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O cone pequeno é semelhante ao grande e tem metade do volume. Volumes estão na razão do cubo das alturas.
Resolução
O que você precisa saber
- O plano paralelo à base gera um cone menor semelhante ao original.
- Razão entre volumes de sólidos semelhantes: cubo da razão de semelhança.
- Volumes iguais nas duas partes: o cone pequeno tem metade do volume total.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura h do cone pequeno com metade do volume.
ESTRUTURAR
\left(\frac{h}{12}\right)^3 = \frac{1}{2}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Tirar a raiz cúbica e racionalizar.
A armadilha: cortar na metade da altura, como se o volume fosse proporcional à altura.
CALCULAR
h = \frac{12}{\sqrt[3]{2}} = \frac{12\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{12\sqrt[3]{4}}{2} = 6\sqrt[3]{4}CONFERIR
6\sqrt[3]{4} \approx 6 \cdot 1{,}587 \approx 9{,}5 cm: o corte fica bem mais perto da base, como deve ser, porque a parte de baixo é larga ✓.
Por que as outras tentam: A (6) é metade da altura; C (6\sqrt{2}) usa a raiz quadrada, como se fosse razão de áreas.
Resposta
6\sqrt[3]{4} cm.
Alternativa correta
E