GEOMETRIA ESPACIAL · ESFERA

Dobre o raio e a esfera fica oito vezes maior.

Peça de metal derretida em bolinhas, bacia em meia esfera, pílula com pontas arredondadas, melão cortado, globo terrestre visto de cima. A esfera tem só duas fórmulas, mas a prova cobra o que se faz com elas. Esta página ensina volume e área, volume que se conserva, semiesfera e sólidos compostos, cortes e calotas e o globo, com questões reais do ENEM e da UFRGS resolvidas.

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1 · VOLUME E ÁREA

Duas fórmulas, e o raio manda nas duas.

\[V=\frac{4}{3}\pi r^3\qquad A=4\pi r^2\]

O volume depende do cubo do raio, e a área da superfície, do quadrado. Por isso, ao multiplicar o raio por \(k\), a área fica multiplicada por \(k^2\) e o volume por \(k^3\).

Exemplo. Uma esfera de raio 3 cm tem \(V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\) cm³ e \(A=4\pi\cdot9=36\pi\) cm². Com raio 6 cm, a área vai a \(144\pi\) (4 vezes) e o volume a \(288\pi\) (8 vezes).

Diâmetro ou raio? Muitas questões dão o diâmetro. Divida por 2 antes de elevar ao cubo, senão o volume sai 8 vezes maior.
Com \(\pi=3\), o volume vira \(V=4r^3\). É a conta mais rápida quando o enunciado autoriza a aproximação.

De onde vem o \(\frac43\)

h semiesfera cilindro − cone π(r² − h²) π(r² − h²)
Na mesma altura \(h\), a seção da semiesfera é um círculo de raio \(\sqrt{r^2-h^2}\), e a do outro sólido é uma coroa entre os raios \(r\) e \(h\). As áreas são iguais.

Princípio de Cavalieri. Se dois sólidos de mesma altura têm, em cada nível, seções de mesma área, eles têm o mesmo volume.

Compare a semiesfera de raio \(r\) com um cilindro de raio \(r\) e altura \(r\) do qual se tirou um cone de mesma base e altura, com a ponta para baixo. Na altura \(h\), as duas seções medem \(\pi(r^2-h^2)\). Então:

\[V_{\text{semiesfera}}=\pi r^3-\frac{\pi r^3}{3}=\frac23\pi r^3\quad\Rightarrow\quad V_{\text{esfera}}=\frac43\pi r^3\]

A área sai de outra ideia: a esfera é feita de "pirâmides" finíssimas com o vértice no centro e altura \(r\). Somando, \(V=\frac13\cdot A\cdot r\), e com \(V=\frac43\pi r^3\) sai \(A=4\pi r^2\).

UFRGS 2014 · Questão 44 Fácil–média

O cilindro e a esfera de mesmo volume

Considere um cilindro reto de altura 32 e raio da base 3, e uma esfera com volume igual ao do cilindro.

Com essas condições, o raio da esfera é

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Iguale \(\pi \cdot 3^2 \cdot 32\) a \(\frac{4}{3}\pi r^3\). O \(\pi\) some dos dois lados.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o raio \(r\) que faz os dois volumes iguais.

  2. ESTRUTURAR
    \[V_{\text{cil}} = \pi \cdot 9 \cdot 32 = 288\pi\]
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Resolver \(\frac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi\).

    A armadilha: esquecer o fator \(\frac{4}{3}\).

  4. CALCULAR
    \[r^3 = 288 \cdot \frac{3}{4} = 216 \Rightarrow r = 6\]
  5. CONFERIR

    \(\frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi\) ✓.

    Por que as outras tentam: sem o \(\frac{4}{3}\), \(r^3 = 288\), que não tem raiz inteira; as outras alternativas não vêm de nenhuma conta direta.

Resposta: B

Leve para outras questões: igualando volumes, o \(\pi\) se cancela. Memorize os cubos até 10: 216 é \(6^3\).

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UFRGS 2018 · Questão 43 Fácil–média

Três esferas viram uma

Fundindo três esferas idênticas e maciças de diâmetro 2 cm, obtém-se uma única esfera maciça de raio

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Fundir conserva o volume. O volume da esfera grande é 3 vezes o de uma pequena, de raio 1.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o raio da esfera com o triplo do volume de uma esfera de raio 1.

  2. ESTRUTURAR

    Raio de cada esfera pequena: 1 cm.

    \[\frac43\pi R^3 = 3 \cdot \frac43\pi \cdot 1^3\]
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Igualar volumes e tirar a raiz cúbica.

    A armadilha: somar os raios e marcar 3, alternativa D. Raio não se soma; volume sim.

  4. CALCULAR
    \[R^3 = 3 \Rightarrow R = \sqrt[3]{3} \text{ cm}\]
  5. CONFERIR

    \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44\): a esfera grande tem raio maior que 1 e bem menor que 3 ✓.

    Por que as outras tentam: D soma os raios e E soma os diâmetros.

Resposta: A

Leve para outras questões: em fusão ou mudança de forma, iguale volumes. Volume multiplicado por \(k\) multiplica o raio por \(\sqrt[3]{k}\).

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2 · DERRETER E ENCHER

O formato muda, o volume não.

Quando um sólido é derretido e moldado de novo, ou quando um líquido passa de um recipiente para outro, o volume se conserva. A equação da questão é sempre "volume antes = volume depois". Para contar peças, divida o volume total pelo volume de uma peça.

Exemplo. Uma esfera de raio 2 cm é derretida e vira um cilindro de raio 2 cm. Qual a altura? \(\frac43\pi\cdot8=\pi\cdot4\cdot h\Rightarrow h=\frac83\) cm.

Litro é volume. \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3\). Converta antes de igualar.
Deixe o \(\pi\) para o fim. Ele aparece dos dois lados da igualdade e costuma cancelar.
ENEM 2022 · Questão 174 Média

As esferas dos rolamentos

Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.

Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?

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Divida o volume do cilindro pelo volume de uma esfera. O diâmetro da esfera é 1 cm, então o raio é 0,5 cm.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: quantas esferas de raio 0,5 cm cabem no volume de metal do cilindro.

  2. ESTRUTURAR

    • Cilindro: raio 4 cm, altura 50 cm.

    • Esfera: raio \(\frac{1}{2}\) cm.

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular os dois volumes deixando \(\pi\) indicado e dividir; o \(\pi\) se cancela.

    A armadilha: usar 1 cm como raio da esfera, chegando a 600 esferas, que não está nas alternativas. Outro tropeço é errar \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\).

  4. CALCULAR
    \[V_{\text{cil}} = \pi \cdot 4^2 \cdot 50 = 800\pi \text{ cm}^3\]
    \[V_{\text{esf}} = \frac{4}{3}\pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{\pi}{6} \text{ cm}^3\]
    \[N = \frac{800\pi}{\frac{\pi}{6}} = 800 \cdot 6 = 4\,800\]
  5. CONFERIR

    Cada esfera tem cerca de 0,52 cm³ e o cilindro, cerca de 2 513 cm³: \(2\,513 \div 0{,}52 \approx 4\,800\).

Resposta: D

Leve para outras questões: em "derreter e moldar", o volume se conserva. Deixe o \(\pi\) indicado: ele se cancela na divisão.

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UFRGS 2016 · Questão 40 Média

A bacia semiesférica

Se um jarro com capacidade para 2 litros está completamente cheio de água, a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro é

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2 litros = 2000 cm³. Volume da semiesfera: \(\frac23 \pi r^3\). Teste as alternativas a partir da menor.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o menor raio inteiro com \(\frac23 \pi r^3 \ge 2000\).

  2. ESTRUTURAR
    \[\frac23 \pi r^3 \ge 2000 \Rightarrow r^3 \ge \frac{3000}{\pi} \approx 955\]
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Comparar \(r^3\) com 955.

    A armadilha: usar o volume da esfera inteira. Aí \(r^3 \ge 477\) e o raio 8 pareceria suficiente.

  4. CALCULAR

    \(9^3 = 729 < 955\) e \(10^3 = 1000 > 955\). O menor inteiro é \(r = 10\).

  5. CONFERIR

    Com \(r = 10\): \(\frac23 \cdot 3{,}14 \cdot 1000 \approx 2093\ \text{cm}^3 \ge 2000\) ✓. Com \(r = 9\): \(\approx 1526\ \text{cm}^3\), não cabe.

    Por que as outras tentam: A (8) é o que sai com a esfera inteira (\(\frac43 \pi \cdot 512 \approx 2144\)).

Resposta: B

Leve para outras questões: litro e cm³ andam juntos (1 L = 1000 cm³). Leia se o sólido é inteiro ou metade antes de aplicar a fórmula.

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3 · SEMIESFERA E SÓLIDOS COMPOSTOS

Meia esfera é metade de tudo, menos da tampa.

A semiesfera tem metade do volume, \(\frac23\pi r^3\), e metade da superfície curva, \(2\pi r^2\). Se ela for um sólido fechado, some o círculo plano da base, \(\pi r^2\), e a área total fica \(3\pi r^2\).

Sólidos com ponta arredondada (cápsula, silo com cúpula, sorvete) são somas: separe as partes, calcule cada uma e some.

Exemplo. Um sorvete é um cone de raio 3 cm e altura 8 cm com meia bola de raio 3 cm em cima: \(\frac{\pi\cdot9\cdot8}{3}+\frac23\pi\cdot27=24\pi+18\pi=42\pi\) cm³.

Procure o raio comum. Nos sólidos compostos, a semiesfera encaixa no cilindro ou no cone, então os dois têm o mesmo raio.
Comparar dois tamanhos? Escreva o volume em função do raio uma vez só e substitua os dois valores.

Esfera e cubo, cunha e fuso

Esfera no cubo de aresta \(a\)RaioPor quê
inscrita (toca as faces)\(\dfrac a2\)o diâmetro é a aresta
tangente às arestas\(\dfrac{a\sqrt2}{2}\)o diâmetro é a diagonal da face
circunscrita (passa pelos vértices)\(\dfrac{a\sqrt3}{2}\)o diâmetro é a diagonal do cubo

Cunha esférica. É o "gomo" entre dois meio-planos que passam pelo eixo. O fuso é a casca do gomo, e a cunha é o gomo inteiro. Os dois são a fração \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) da esfera:

\[V_{\text{cunha}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\frac43\pi r^3\]

Exemplo. Uma laranja de raio 4 cm com 8 gomos iguais: cada gomo tem 45° e volume \(\frac18\cdot\frac43\pi\cdot64=\frac{32\pi}{3}\approx33{,}5\) cm³.

a/2 a circunscrita inscrita
Corte do cubo de aresta \(a\) pelo meio. A esfera inscrita toca as faces; a circunscrita passa pelos vértices, que ficam fora deste corte.
ENEM 2014 · Questão 167 Média

A pílula menor

Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.

Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.

Use 3 como valor aproximado para \(\pi\).

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

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As duas semiesferas juntas formam uma esfera inteira. Calcule o volume da pílula com raio 5 e com raio 4, sempre com cilindro de 10 mm, e subtraia.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: a diferença entre o volume da pílula de raio 5 mm e o da pílula de raio 4 mm.

  2. ESTRUTURAR

    • Pílula: cilindro de 10 mm de comprimento + duas semiesferas.

    • Raio antes: 5 mm. Raio depois: 4 mm.

    • \(\pi = 3\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Montar a fórmula do volume da pílula e aplicar nos dois raios.

    A armadilha: usar a área da esfera, \(4\pi r^2\), no lugar do volume. Dá \(270 + 108 = 378\) (alternativa D).

  4. CALCULAR
    \[V = \pi r^2 \cdot 10 + \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 30r^2 + 4r^3\]
    \[r = 5:\; 750 + 500 = 1\,250\ \text{mm}^3\]
    \[r = 4:\; 480 + 256 = 736\ \text{mm}^3\]
    \[1\,250 - 736 = 514\ \text{mm}^3\]
  5. CONFERIR

    Por partes: o cilindro perde \(30 \cdot (25 - 16) = 270\) e a esfera perde \(4 \cdot (125 - 64) = 244\); \(270 + 244 = 514\) ✓.

A pílula é um cilindro de 10 mm com duas semiesferas, que juntas formam uma esfera. Com pi igual a 3, o volume é 30 vezes r² mais 4 vezes r³. Com r = 5 mm: 750 + 500 = 1 250 mm³. Com r = 4 mm: 480 + 256 = 736 mm³. A redução é 514 mm³.

Resposta: E

Leve para outras questões: sólidos compostos se resolvem somando as partes; duas semiesferas iguais são sempre uma esfera.

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4 · CORTES E CALOTAS

Todo corte plano numa esfera é um círculo, e há um triângulo retângulo escondido nele.

Seção plana de uma esferaEsfera de centro O e raio R cortada por um plano horizontal a uma distância d do centro. A seção é um círculo de raio rho. R, d e rho formam um triângulo retângulo com o ângulo reto no centro da seção. A parte acima do corte é a calota, de altura h igual a R menos d. OdRρh calota
\(\rho^2+d^2=R^2\). A calota é a parte cortada, com altura \(h=R-d\).

Um plano a uma distância \(d\) do centro corta a esfera num círculo de raio \(\rho\). O raio \(R\) da esfera é a hipotenusa: \(\rho^2+d^2=R^2\). Se o plano passa pelo centro (\(d=0\)), a seção é um círculo máximo, com o mesmo raio da esfera.

A parte separada pelo corte é uma calota. Sua altura é \(h=R-d\) para a calota menor e \(h=R+d\) para a maior.

Exemplo. Numa esfera de raio 13 cm, um plano a 5 cm do centro produz uma seção de raio \(\sqrt{169-25}=12\) cm. A calota menor tem altura \(13-5=8\) cm.

ENEM 2017 · Questão 167 Média–difícil

O melão da festa

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Melão esférico com uma calota cortada embaixo. A calota tem altura h e a seção de corte é um círculo de raio r; a parte hachurada fica apoiada na mesa e o restante da superfície é a região onde serão afixados os doces.

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a

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Ligue o centro do melão à borda do corte: dá um triângulo retângulo com hipotenusa 5 (o raio), um cateto r e outro cateto igual à distância do centro ao corte, que é 5 − h.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: a menor altura de calota que ainda dá um círculo de corte com raio de pelo menos 3 cm.

  2. ESTRUTURAR
    • Raio do melão: 5 cm.
    • Raio do corte: r ≥ 3 cm.
    • Quer a maior área para os doces, isto é, a menor calota.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Escrever r em função de h por Pitágoras e achar o menor h que dá r = 3.

    A armadilha: achar 4, que é a distância do centro ao plano de corte, e marcar como h (alternativa D). A altura h da calota é medida da borda da esfera até o corte: 5 − 4 = 1.

  4. CALCULAR
    \[r^2 + (5-h)^2 = 5^2\]
    \[r = 3 \;\Rightarrow\; (5-h)^2 = 25 - 9 = 16 \;\Rightarrow\; 5 - h = 4 \;\Rightarrow\; h = 1\]

    Para h maior que 1, o corte fica maior que 3 cm, mas sobra menos superfície. O menor valor permitido é h = 1.

  5. CONFERIR

    Com h = 1: distância do centro ao corte igual a 4, e \(\sqrt{25 - 16} = 3\) ✓. Com h = 0,5 o raio seria \(\sqrt{25 - 20{,}25} \approx 2{,}2\), menor que 3 ✓.

Resposta: C

Leve para outras questões: todo corte plano de esfera vira Pitágoras com o raio da esfera, o raio do corte e a distância do centro ao corte.

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5 · O GLOBO: PARALELOS, MERIDIANOS E PROJEÇÃO

Para desenhar a sombra de uma curva, pergunte em que plano ela está.

No globo, o equador é um círculo máximo. Os paralelos são círculos em planos paralelos ao do equador, menores à medida que se afastam dele. Os meridianos são semicírculos máximos que ligam os polos, em planos que contêm o eixo da Terra. Dois meridianos limitam um fuso, cuja área é a fração \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) da superfície.

A projeção ortogonal num plano é a "sombra" com luz caindo perpendicular a ele. Uma curva contida num plano paralelo ao de projeção mantém forma e tamanho; uma curva contida num plano perpendicular a ele vira um segmento.

Exemplo. Uma lata de pé sobre a mesa, vista de cima: a borda de cima, paralela à mesa, aparece como um círculo do mesmo tamanho; uma costura vertical da lateral aparece como um único ponto.

Globo com equador, paralelo e meridianoUm globo com o eixo vertical ligando os polos. O equador é a elipse do meio, em azul. Um paralelo é uma elipse menor acima dele, em dourado. Um meridiano é uma curva de polo a polo, em azul-marinho. poloequadorparalelomeridiano
Paralelos ficam em planos paralelos ao equador; meridianos, em planos que contêm o eixo.
ENEM 2022 · Questão 180 Média–difícil

As duas trajetórias vistas de cima

Na figura estão destacadas duas trajetórias sobre a superfície do globo terrestre, descritas ao se percorrer parte dos meridianos 1, 2 e da Linha do Equador, sendo que os meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si. O plano \(\alpha\) é paralelo ao que contém a Linha do Equador.

Globo com o polo Norte (N) em cima e o polo Sul (S) embaixo, a Linha do Equador e os meridianos 1 e 2, em planos perpendiculares. Uma trajetória destacada fica na metade de baixo, na frente à esquerda: um quarto do equador e dois trechos de meridiano que descem até S. A outra fica na metade de cima, atrás à direita: um quarto do equador e dois trechos de meridiano que sobem até N. Abaixo do globo, o plano horizontal alfa.

A vista superior da projeção ortogonal sobre o plano \(\alpha\) dessas duas trajetórias é

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Olhando o globo de cima, o equador aparece como o contorno do círculo, e cada meridiano, que está num plano vertical, aparece como um segmento reto do centro até a borda.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: como cada trecho (meridiano ou equador) aparece quando o globo é visto de cima.

  2. ESTRUTURAR
    • Cada trajetória tem um quarto do equador e dois trechos de meridiano que vão até um polo.
    • As duas trajetórias ficam em lados opostos do globo.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Projetar cada trecho: meridianos viram raios retos (do polo, no centro, até o equador, na borda); o quarto de equador vira um quarto do círculo.

    A armadilha: desenhar os meridianos como curvas, como eles aparecem na perspectiva (alternativas A, B e C), ou desenhar o equador inteiro (alternativa D).

  4. CALCULAR
    • Trechos de meridiano → raios retos do centro até a borda.
    • Quarto de equador → arco de um quarto de círculo.
    • Cada trajetória → um setor de 90°, com dois raios e um arco.
    • As duas trajetórias estão em lados opostos → setores em quadrantes opostos, tocando-se no centro.
  5. CONFERIR

    Só a alternativa E tem raios retos e arcos de um quarto de círculo em quadrantes opostos.

Vista de cima do globo no plano alfa: um círculo tracejado com dois setores de um quarto de círculo em quadrantes opostos, um azul e um dourado, que se tocam no centro, onde caem os polos N e S. Os meridianos viram raios retos e cada quarto de equador vira um quarto do círculo: alternativa E.

Resposta: E

Leve para outras questões: em projeção ortogonal, pergunte se cada linha é paralela ou perpendicular ao plano. Paralela mantém a forma; num plano perpendicular, vira segmento.

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6 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de esfera.

  1. Usar o diâmetro no lugar do raio e errar o volume por um fator 8. Veja na questão dos rolamentos.
  2. Achar que o raio cresce na mesma proporção do volume. Juntar esferas soma os volumes, não os raios. Veja na questão das três esferas.
  3. Igualar litros a centímetros cúbicos sem converter. Veja na questão da bacia.
  4. Esquecer uma das partes de um sólido composto, ou contar a mesma parte duas vezes. Veja na questão da pílula.
  5. Trocar a altura da calota pela distância ao centro. Uma é \(R-d\), a outra é \(d\). Veja na questão do melão.
  6. Desenhar a projeção de memória, sem perguntar em que plano está cada trecho do caminho. Veja na questão das trajetórias.
7 · DESAFIO

Um caminho pelo globo, visto de cima. Que desenho ele faz?

Divida o caminho em trechos e identifique o plano de cada um antes de olhar as alternativas. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2016 · Questão 178 Difícil

O caminho de A até C

A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura.

Globo terrestre com a linha do Equador marcada. Os pontos A e B estão no mesmo paralelo, abaixo do Equador; o caminho de A até B segue esse paralelo. De B, o caminho sobe pelo meridiano até C, acima do Equador. Abaixo do globo há um plano alfa, paralelo ao Equador.

A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por

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Projetar no plano α é olhar o globo de cima, pelo polo. Um paralelo, visto de cima, é um círculo. Um meridiano está num plano que passa pelo eixo da Terra; visto de cima, ele vira um segmento reto apontando para o centro.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: como o trecho no paralelo e o trecho no meridiano aparecem vistos de cima.

  2. ESTRUTURAR
    • A até B: arco de paralelo.
    • B até C: arco de meridiano, cruzando o Equador.
    • Plano α paralelo ao Equador.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Pensar em cada trecho separadamente e na sua posição em relação a α.

    A armadilha: achar que o meridiano, por ser "vertical", vira um ponto, e que C coincide com B (alternativa D). O meridiano se aproxima do eixo à medida que vai para longe do Equador, então, visto de cima, ele vira um segmento curto apontando para o centro.

  4. CALCULAR

    - Trecho AB, no paralelo: projeta-se como um arco de círculo (o paralelo inteiro vira um círculo centrado no polo).

    - Trecho BC, no meridiano: o plano do meridiano é perpendicular a α, então o trecho se projeta como um segmento reto na direção do centro.

    O desenho com um arco de A até B e um pequeno segmento reto de B até C é o E.

  5. CONFERIR

    C fica mais longe do Equador que B, portanto mais perto do eixo; na projeção, C fica mais perto do centro que B, como no desenho E ✓.

Resposta: E

Leve para outras questões: numa projeção ortogonal, curvas em planos paralelos ao plano de projeção mantêm a forma; curvas em planos perpendiculares viram segmentos.

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8 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Escreva a fórmula antes de substituir e confira se o dado é raio ou diâmetro. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

  1. 1

    Qual o volume de uma esfera de raio 3 cm? Use \(\pi=3\).

    Ver resposta

    \(\dfrac43\cdot3\cdot27=108\) cm³.

  2. 2

    Qual a área da superfície de uma esfera de raio 5? Deixe em função de \(\pi\).

    Ver resposta

    \(4\pi\cdot25=100\pi\).

  3. 3

    Uma esfera tem área \(64\pi\) cm². Qual o raio?

    Ver resposta

    \(4\pi r^2=64\pi\Rightarrow r^2=16\Rightarrow r=4\) cm.

  4. 4

    O raio de uma esfera dobra. Por quanto ficam multiplicados a área e o volume?

    Ver resposta

    Área por 4 e volume por 8.

  5. 5

    Qual o volume de uma semiesfera de raio 6? Deixe em função de \(\pi\).

    Ver resposta

    \(\dfrac23\pi\cdot216=144\pi\).

  6. 6

    Quantos litros cabem numa esfera de raio 10 cm? Use \(\pi=3\).

    Ver resposta

    \(4\cdot1000=4000\) cm³ \(=4\) L.

  7. 7

    Um plano corta uma esfera de raio 10 a 6 do centro. Qual o raio da seção?

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    \(\sqrt{100-36}=8\).

  8. 8

    Uma esfera de raio \(r\) está dentro de um cilindro de raio \(r\) e altura \(2r\). Que fração do cilindro ela ocupa?

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    \(\dfrac{\frac43\pi r^3}{2\pi r^3}=\dfrac23\).

  9. 9

    Uma esfera de raio 3 é derretida e vira um cilindro de raio 3. Qual a altura do cilindro?

    Ver resposta

    \(36\pi=9\pi h\Rightarrow h=4\).

  10. 10

    Qual a área de um fuso de 60° numa esfera de raio 3? Deixe em função de \(\pi\).

    Ver resposta

    \(\dfrac{60}{360}\cdot4\pi\cdot9=6\pi\).

RESUMO PARA REVISAR

Esfera em seis linhas.

  • \(V=\frac43\pi r^3\) e \(A=4\pi r^2\); com \(\pi=3\), \(V=4r^3\).
  • Raio vezes \(k\): área vezes \(k^2\), volume vezes \(k^3\).
  • Derreter ou transvasar: volume antes = volume depois; \(1\ \text{L}=1000\ \text{cm}^3\).
  • Semiesfera: \(\frac23\pi r^3\); superfície curva \(2\pi r^2\), mais \(\pi r^2\) se for fechada.
  • Corte plano: \(\rho^2+d^2=R^2\); calota de altura \(R-d\).
  • Projeção: curva em plano paralelo mantém a forma; em plano perpendicular vira segmento.
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