Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
(A)
5-\dfrac{\sqrt{91}}{2}
(B)
10-\sqrt{91}
(C)
1
(D)
4
(E)
5
Pista
Ligue o centro do melão à borda do corte: dá um triângulo retângulo com hipotenusa 5 (o raio), um cateto r e outro cateto igual à distância do centro ao corte, que é 5 − h.
Resolução
O que você precisa saber
Num corte plano da esfera, raio da esfera, raio do corte e distância do centro ao corte formam um triângulo retângulo.
Quanto maior a calota retirada, maior o círculo de corte, mas menor a superfície que sobra.
Para sobrar a maior área, corte o mínimo possível que ainda respeite a condição.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a menor altura de calota que ainda dá um círculo de corte com raio de pelo menos 3 cm.
ESTRUTURAR
Raio do melão: 5 cm.
Raio do corte: r ≥ 3 cm.
Quer a maior área para os doces, isto é, a menor calota.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Escrever r em função de h por Pitágoras e achar o menor h que dá r = 3.
A armadilha: achar 4, que é a distância do centro ao plano de corte, e marcar como h (alternativa D). A altura h da calota é medida da borda da esfera até o corte: 5 − 4 = 1.
Para h maior que 1, o corte fica maior que 3 cm, mas sobra menos superfície. O menor valor permitido é h = 1.
CONFERIR
Com h = 1: distância do centro ao corte igual a 4, e \sqrt{25 - 16} = 3 ✓. Com h = 0,5 o raio seria \sqrt{25 - 20{,}25} \approx 2{,}2, menor que 3 ✓.
Resposta
1 cm.
Alternativa corretaC
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H12 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
Em palavras de salaUma situação com medidas reais (litros, mililitros, horas, centímetros cúbicos) e um valor para calcular. Você converte tudo para a mesma unidade, faz a conta e confere se o tamanho do resultado faz sentido.
Por que é H12
A altura do corte sai das medidas da esfera e da seção. Resolver situação-problema que envolve medidas de grandezas é a H12.
A H12 nesta questão
Para o maior espaço de doces, a calota tirada deve ser a menor possível, com r = 3. A distância do centro ao corte é √(25 − 9) = 4. A altura da calota é 5 − 4 = 1 cm.
O que muda na hora de resolver
A H12 pede de onde a medida é tomada. 4 é a distância do centro. Quem a usa como h marca 4. Só 16% acertaram.
