Considere ABCDEFGH paralelepípedo reto-retângulo, indicado na figura abaixo, tal que \overline{AB} = 4, \overline{AE} = 3 e \overline{BC} = 2.
O volume do tetraedro AHFC é
UFRGS · 2017
Questão 45 — UFRGS 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Tire do paralelepípedo os 4 cantos que sobram (nos vértices B, D, E e G). Cada canto é uma pirâmide de volume \frac16 do paralelepípedo.
Resolução
O que você precisa saber
- Volume do paralelepípedo: comprimento · largura · altura.
- Volume da pirâmide: área da base · altura ÷ 3.
- Cortar um canto por três vértices vizinhos dá uma pirâmide com 1 sexto do volume do bloco.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do tetraedro cujas arestas são diagonais de faces do bloco.
ESTRUTURAR
V_{\text{bloco}} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24O tetraedro AHFC é o bloco menos 4 pirâmides de canto, nos vértices B, D, E e G.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular uma pirâmide de canto e subtrair 4 delas.
A armadilha: subtrair só uma ou duas pirâmides, ou achar que o tetraedro é metade do bloco.
CALCULAR
Pirâmide do canto B (vértices B, A, C, F): base ABC com área \frac{4 \cdot 2}{2} = 4 e altura BF = 3.
V_{\text{canto}} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4 = \frac{24}{6}V_{AHFC} = 24 - 4 \cdot 4 = 8CONFERIR
Os 4 cantos são iguais em volume (cada um usa as três dimensões 4, 3 e 2), e 8 = \frac{24}{3}: esse tetraedro sempre tem um terço do bloco ✓.
Por que as outras tentam: A (4) é o volume de um canto só, e D (16) é a soma dos 4 cantos retirados. C (12) é metade do bloco. O próprio gabarito da UFRGS saiu primeiro com C e foi corrigido para B.
Resposta
8.
Alternativa correta
B