PAVE 3 · 2019

Questão 15 — PAVE 3 2019

Geometria analítica: condição de alinhamento de três pontos Fácil–média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um engenheiro foi contratado para resolver um problema de construção em uma ponte. Sabe-se que em determinado ponto, a ponte precisa ter seus pontos de apoio todos alinhados. Infelizmente alguns dados das coordenadas dos pontos foram perdidos. Sabendo que os valores dos pontos são: A(0,x), B(x,−4) e C(1,2), o possível valor de x positivo para que os pontos sejam colineares é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

Pontos alinhados: o determinante das coordenadas, com uma coluna de 1, é zero.
Também vale: a inclinação (Δy/Δx) é a mesma entre quaisquer dois pares de pontos.
Uma equação do 2º grau pode dar duas soluções; a questão pede a positiva.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o valor positivo de x que deixa A(0, x), B(x, -4) e C(1, 2) na mesma reta.

ESTRUTURAR

\begin{vmatrix} 0 & x & 1 \\ x & -4 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Desenvolver o determinante, resolver a equação e ficar com a raiz positiva.

A armadilha: errar um sinal no determinante. Com o sinal trocado, sai x^2 + 3x - 4 = 0, de raízes 1 e −4, e a raiz positiva vira 1 (alternativa D).

CALCULAR

Pela regra de Sarrus:

0 \cdot (-4) \cdot 1 + x \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot x \cdot 2 - \left[1 \cdot (-4) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 2 + x \cdot x \cdot 1\right] = 03x + 4 - x^2 = 0 \iff x^2 - 3x - 4 = 0 \iff x = 4 \ \text{ou} \ x = -1

A raiz positiva é x = 4.

CONFERIR

Com x = 4: A(0, 4), B(4, -4), C(1, 2). Inclinação de A até C: \frac{2 - 4}{1 - 0} = -2; de A até B: \frac{-4 - 4}{4 - 0} = -2. Iguais, então os pontos estão alinhados ✓.

Por que as outras tentam: D (1) vem do erro de sinal no determinante. E (0) põe A e B na reta x = 0, mas C não está nela. B (3) e C (2) não anulam o determinante.

Resposta

x = 4.

Alternativa correta A