Questão 11 PAVE 3 2015: Matrizes: matriz inversa com elementos obtidos de um sistema linear (resolvida)

Dada a matriz A = \begin{bmatrix} m & -1 \\ 5 & n \end{bmatrix}, sabe-se que (m, n) satisfaz o sistema

\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = -3 \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} = 7 \end{cases}

Nessas condições, a matriz inversa de A é

(A)

\begin{bmatrix} \frac{4}{25} & -1 \\ 0 & \frac{6}{125} \end{bmatrix}.

(B)

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}.

(C)

\begin{bmatrix} 25 & 0 \\ -1 & 125 \end{bmatrix}.

(D)

\begin{bmatrix} \frac{1}{25} & \frac{6}{125} \\ \frac{4}{25} & \frac{-1}{125} \end{bmatrix}.

(E)

\begin{bmatrix} \frac{4}{25} & \frac{1}{125} \\ \frac{-1}{25} & \frac{6}{125} \end{bmatrix}.

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

Inversa de [a b; c d]: (1/det) · [d −b; −c a], com det = ad − bc ≠ 0.
Para tirar frações de uma equação, multiplique pelo MMC dos denominadores.
Conferência: A · A⁻¹ = I.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: os valores m e n (a solução do sistema) e, com eles, a inversa de A.

ESTRUTURAR

Sistema sem frações (a 1ª equação vezes 12 e a 2ª vezes 10), com x = m e y = n:

4x - 3y = -36 \qquad 5x + 2y = 70

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Resolver por adição, montar A e usar a fórmula da inversa 2 × 2.

A armadilha: na inversa, trocar o sinal da diagonal principal (e não da secundária), ou esquecer de dividir pelo determinante.

CALCULAR

Multiplicando a 1ª por 2 e a 2ª por 3 e somando: 8x + 15x = -72 + 210, ou seja, 23x = 138, x = 6. Então 4 \cdot 6 - 3y = -36, y = 20.

A = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ 5 & 20 \end{bmatrix} \qquad \det A = 6 \cdot 20 - (-1) \cdot 5 = 125A^{-1} = \frac{1}{125}\begin{bmatrix} 20 & 1 \\ -5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{25} & \frac{1}{125} \\ -\frac{1}{25} & \frac{6}{125} \end{bmatrix}

CONFERIR

No sistema: \frac63 - \frac{20}{4} = 2 - 5 = -3 ✓ e \frac62 + \frac{20}{5} = 3 + 4 = 7 ✓. Produto: A \cdot \frac{1}{125}\begin{bmatrix} 20 & 1 \\ -5 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{125}\begin{bmatrix} 120 + 5 & 6 - 6 \\ 100 - 100 & 5 + 120 \end{bmatrix} = I ✓.

Por que as outras tentam: B tem uma coluna de zeros, então nem é inversível. A e C misturam elementos certos (\frac{4}{25}, \frac{6}{125}, 25, 125) em posições erradas. D embaralha os elementos da inversa correta; multiplicando A por D não sai a identidade.

Resposta

A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{25} & \frac{1}{125} \\ -\frac{1}{25} & \frac{6}{125} \end{bmatrix}.

Alternativa correta E