A quantidade de números com 4 algarismos distintos e não nulos, cuja soma dos seus algarismos é ímpar, é
PAVE 3 · 2014
Questão 12 — PAVE 3 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os algarismos possíveis são 1 a 9: cinco ímpares e quatro pares. A soma de quatro algarismos é ímpar quando a quantidade de ímpares entre eles é ímpar. Quantos ímpares podem ser?
Resolução
O que você precisa saber
- Soma de números inteiros é ímpar exatamente quando há uma quantidade ímpar de parcelas ímpares.
- Algarismos não nulos: 1, 3, 5, 7, 9 (ímpares) e 2, 4, 6, 8 (pares).
- Escolher sem ordem: combinação C(n, k). Depois, cada escolha de 4 algarismos distintos dá 4! = 24 números.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos números de 4 algarismos distintos, todos de 1 a 9, têm soma dos algarismos ímpar.
ESTRUTURAR
Casos pela quantidade de algarismos ímpares (tem de ser 1 ou 3):
- 1 ímpar e 3 pares.
- 3 ímpares e 1 par.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Escolher os algarismos de cada caso com combinações e multiplicar por 4! para as ordens.
A armadilha: contar só o caso de 3 ímpares e esquecer o de 1 ímpar (ou o contrário).
CALCULAR
\text{1 ímpar e 3 pares: } C(5,1) \cdot C(4,3) = 5 \cdot 4 = 20 \text{ escolhas}\text{3 ímpares e 1 par: } C(5,3) \cdot C(4,1) = 10 \cdot 4 = 40 \text{ escolhas}(20 + 40) \cdot 4! = 60 \cdot 24 = 1440CONFERIR
Conferindo pelo complementar: o total de números com 4 algarismos distintos de 1 a 9 é 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024. Soma par (0, 2 ou 4 ímpares): [C(4,4) + C(5,2)C(4,2) + C(5,4)] \cdot 24 = (1 + 60 + 5) \cdot 24 = 1584. E 1440 + 1584 = 3024 ✓.
Por que as outras tentam: B (960) conta só o caso de 3 ímpares (40 \cdot 24). As outras não saem de uma divisão em casos correta.
Resposta
1440 números.
Alternativa correta
D