Os gráficos 1 e 2 abaixo mostram os montantes de aplicações financeiras de um mesmo capital inicial C_0, à mesma taxa, porém em regimes de juros simples e compostos, respectivamente.
Nessas condições, o tempo x, em anos, é
PAVE 3 · 2014
Questão 11 — PAVE 3 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
No gráfico 1, de t = 1 para t = 2 o montante sobe 160: esse é o juro de um ano. Com isso você acha C_0 e a taxa. Depois use juros compostos e aplique \ell n dos dois lados.
Resolução
O que você precisa saber
- Juros simples: M = C₀ · (1 + i · t). O montante cresce o mesmo valor a cada ano (reta).
- Juros compostos: M = C₀ · (1 + i)ᵗ (curva exponencial).
- Para isolar um expoente: ℓn(aᵗ) = t · ℓn(a).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o tempo x em que o capital, a juros compostos, chega a 1200.
ESTRUTURAR
• Gráfico 1 (simples): M(1) = 960 e M(2) = 1120.
• Juro anual: 1120 - 960 = 160 = C_0 \cdot i.
• Gráfico 2 (compostos): C_0 (1 + i)^x = 1200.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Tirar C_0 e i do gráfico 1 e resolver a equação exponencial do gráfico 2 com logaritmo.
A armadilha: inverter a fração no fim e marcar E. O expoente x multiplica \ell n(1{,}2), então \ell n(1{,}2) vai para o denominador.
CALCULAR
C_0 = 960 - 160 = 800 \qquad i = \frac{160}{800} = 0{,}2 = 20\% \text{ a.a.}800 \cdot 1{,}2^x = 1200 \iff 1{,}2^x = 1{,}5x \cdot \ell n(1{,}2) = \ell n(1{,}5) \iff x = \frac{\ell n(1{,}5)}{\ell n(1{,}2)}CONFERIR
Valor aproximado: \frac{0{,}405}{0{,}182} \approx 2{,}2 anos. Faz sentido: 1{,}2^2 = 1{,}44 < 1{,}5 < 1{,}728 = 1{,}2^3, então x fica entre 2 e 3 anos ✓.
Por que as outras tentam: E inverte a fração (dá cerca de 0,45 ano). B é \log_2 3, cerca de 1,6. C (0{,}5\,\ell n 9 = \ell n 3 \approx 1{,}1) e D (1{,}5\,\ell n 3 \approx 1{,}6) não saem de 1{,}2^x = 1{,}5.
Resposta
x = \frac{\ell n(1{,}5)}{\ell n(1{,}2)} anos.
Alternativa correta
A