Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Um farmacêutico, dispondo de dez substâncias distintas, deverá elaborar um experimento utilizando seis dessas substâncias a cada investigação.
Sabendo que três substâncias predeterminadas dentre as dez substâncias distintas não podem ser usadas simultaneamente em nenhuma investigação, o número de investigações distintas que podem ser elaboradas é
Conte todos os grupos de 6 substâncias e tire os proibidos: aqueles em que as três predeterminadas aparecem juntas. Nesses, faltam escolher quantas, e entre quantas?
O que a questão quer de verdade: quantos grupos de 6 das 10 substâncias não contêm as três substâncias predeterminadas ao mesmo tempo.
• Total de grupos: C_{10,6}.
• Proibidos: grupos com as três predeterminadas; as outras 3 vagas saem das 7 substâncias restantes: C_{7,3}.
Total menos proibidos.
A armadilha: tirar os grupos sem nenhuma das três (C_{7,6} = 7) e chegar em 210 - 7 = 203. O proibido é o grupo com as três juntas, e não o grupo sem elas.
Contando direto pelo número de predeterminadas usadas: nenhuma, C_{7,6} = 7; uma, 3 \cdot C_{7,5} = 63; duas, 3 \cdot C_{7,4} = 105. Total: 7 + 63 + 105 = 175 ✓.
Por que as outras tentam: A (203) tira os 7 grupos sem nenhuma das três, e não os 35 com as três. C (252) é C_{10,5}, com 5 substâncias em vez de 6. E (126) é C_{9,4}, outra contagem que não responde à pergunta. D (152) não sai dessa contagem.
175 investigações.
