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ENEM · 2015

Questão 154 — ENEM 2015

Função logarítmica (equação com logaritmo) Difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

(A)

\log\left(\dfrac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}\right) - \log\left(\dfrac{n - \sqrt{n^2 + 4}}{2}\right)

(B)

\log\left(1 + \dfrac{n}{2}\right) - \log\left(1 - \dfrac{n}{2}\right)

(C)

\log\left(1 + \dfrac{n}{2}\right) + \log\left(1 - \dfrac{n}{2}\right)

(D)

\log\left(\dfrac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}\right)

(E)

2\log\left(\dfrac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}\right)

Resolução

O que você precisa saber

Se log a = −log b, então a = 1 dividido por b.
Equação do 2º grau: fórmula de Bhaskara, ficando com a raiz positiva.
A altura total é o dobro da metade que fica acima do eixo x.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: escrever h em função de n, usando que os dois cantos do vidro estão na curva e são simétricos em relação ao eixo x.

ESTRUTURAR

• Canto inferior esquerdo: (a, -\tfrac{h}{2}), com \log a = -\tfrac{h}{2}.

• Canto superior direito: (b, \tfrac{h}{2}), com \log b = \tfrac{h}{2}.

• Base: b - a = n.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Usar ab = 1 e b - a = n para achar b, e depois h = 2\log b.

A armadilha: parar em \log b, que é só a metade de cima da altura, e marcar a alternativa D. A altura toda é o dobro.

CALCULAR

\log a = -\log b \;\Rightarrow\; a = \frac{1}{b}b - \frac{1}{b} = n \;\Rightarrow\; b^2 - nb - 1 = 0 \;\Rightarrow\; b = \frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}\frac{h}{2} = \log b \;\Rightarrow\; h = 2\log\left(\frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}\right)

CONFERIR

A alternativa A usa \tfrac{n - \sqrt{n^2+4}}{2}, que é negativo e não tem logaritmo ✓. Para n = 0 a altura dá 2\log 1 = 0, vidro sem largura ✓.

Resposta

h = 2\log\left(\dfrac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}\right).

Alternativa correta E

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H21 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

Em palavras de salaO enunciado conta relações em palavras. Você dá nome às quantidades desconhecidas, transforma cada frase numa equação e resolve. A parte difícil é montar. Resolver costuma ser o mais fácil.

Por que é H21

A altura do vidro sai de dois pontos da curva y = log x, simétricos em relação ao eixo x. Resolver situação-problema cuja modelagem envolve conhecimentos algébricos é a H21.

A H21 nesta questão

Os cantos ficam em x = a, com log a = −h/2, e em x = b, com log b = h/2. Então ab = 1 e b − a = n. Daí b − 1/b = n, ou b² − nb − 1 = 0, e b = (n + √(n² + 4))/2. A altura é h = 2 log b.

O que muda na hora de resolver

A H21 pede para lembrar que o eixo x corta a altura ao meio. Quem para em log b tem só a metade de cima e marca a alternativa sem o 2. Só 11% acertaram.

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