Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo \Delta e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por x \Delta y = x^2 + xy - y^2 e x * y = xy + x.
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (a \Delta b) * (b \Delta a) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
(A)
\sqrt{5}
(B)
\sqrt{3}
(C)
\sqrt{1}
(D)
\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}
(E)
\frac{3 + \sqrt{5}}{2}
Pista
Note que x * y = xy + x = x(y + 1). Então o produto é zero quando x = 0 ou quando y = -1.
Resolução
O que você precisa saber
Operação definida: substitua as letras pelos valores, na ordem certa.
Produto igual a zero: um dos fatores é zero.
Equação do 2º grau: use Bhaskara ou fatoração para achar as raízes.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: as soluções em a de (a \Delta 1) * (1 \Delta a) = 0 e a soma das duas maiores.
ESTRUTURAR
• a \Delta 1 = a^2 + a - 1
• 1 \Delta a = 1 + a - a^2
• x * y = x(y + 1)
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fatorar a operação estrela e resolver cada fator igual a zero.
A armadilha: resolver só o primeiro fator e esquecer que y + 1 = 0 também zera o produto. Assim sobra \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} como maior solução (alternativa D), sem a raiz 2 do segundo fator.
CALCULAR
(a^2 + a - 1)\,(1 + a - a^2 + 1) = 0a^2 + a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}62 \text{ ou } -1{,}62-a^2 + a + 2 = 0 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 \text{ ou } a = -12 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
CONFERIR
As quatro soluções em ordem: −1,62; −1; 0,62; 2. As duas maiores somam cerca de 2,62, e \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2{,}62.
Resposta
\frac{3 + \sqrt{5}}{2}.
Alternativa corretaE
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H21 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
Em palavras de salaO enunciado conta relações em palavras. Você dá nome às quantidades desconhecidas, transforma cada frase numa equação e resolve. A parte difícil é montar. Resolver costuma ser o mais fácil.
Por que é H21
As operações inventadas viram equações do 2º grau, e a resposta sai das soluções delas. Resolver situação-problema cuja modelagem envolve conhecimentos algébricos é a H21.
A H21 nesta questão
Com b = 1, a Δ 1 = a² + a − 1 e 1 Δ a = 1 + a − a². A operação estrela é x(y + 1), então o produto zera em a² + a − 1 = 0 ou a² − a − 2 = 0. As duas maiores soluções são (−1 + √5)/2 e 2, que somam (3 + √5)/2.
O que muda na hora de resolver
A H21 pede para escrever o modelo inteiro antes de resolver. Fatorar a estrela mostra o segundo fator. Quem resolve só o primeiro marca D.
