DOSSIÊ 900+ · ENEM 2021

Operações não usuais

Sem posição: discriminação baixa (a = 0,38)
GABARITOE PARÂMETRO Bdiscriminação baixa CAUSA DOMINANTENotação não usual

Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.

QUESTÃO OFICIAL

ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.

ENEM 2021 Caderno 7 · Azul Q152

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela ∗, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x2 + xy − y2 e x ∗ y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb) ∗ (bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

A
5
B
3
C
1
D
−1 + 52
E
3 + 52

Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.

DADOS DO INEP · ENEM 2021 · Q152

Acerto geral
21%
de 534 mil no caderno azul
Quem tira 700
26%
acerta
Quem tira 800
28%
acerta
Parâmetro b
—
discriminação baixa

Sem posição: discriminação baixa (a = 0,38). Microdados do ENEM 2021 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.

APOIO VISUAL

SÍMBOLO NOVO. ÁLGEBRA CONHECIDA.

Execute literalmente as definições.

Fluxo das operações e raízes.
Apoio didático · ENEM 2021 · Q152. Toque ou clique para ampliar.

MAPA DA QUESTÃO

ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.

DECODIFICAR b=1

substitua primeiro

ESTRATÉGIA fatorar

use p ∗ q=p(q+1)

RESPOSTA E

gabarito oficial

IDENTIFICAÇÃO

A QUESTÃO EM UMA LINHA

Caderno
Caderno 7 · Azul
Questão
152
Gabarito
E
Conteúdo
Álgebra
Subconteúdo
Operações definidas · equações quadráticas

DIFICULDADE

ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA

PARÂMETRO Bdiscriminação baixaSem posição: discriminação baixa (a = 0,38)
CAUSA DOMINANTENotação não usual

Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.

Também pesa: Fatoração · raízes

POR QUE É DIFÍCIL?

A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA

  • Os símbolos não têm significado usual.
  • A estrela atua sobre expressões completas.
  • O comando pede as duas maiores raízes.

ANTES DA CONTA

Não interprete os símbolos: apenas aplique as regras dadas.

1
PRIMEIRO PASSO b=1

substitua primeiro

2
ESTRATÉGIA fatorar

use p ∗ q=p(q+1)

3
CONFERIR alternativa E

resultado final

A notação é a armadilha; a resolução vira duas equações quadráticas conhecidas.

DICAS PROGRESSIVAS

ABRA SÓ O QUE PRECISAR

DICA 01

Calcule aΔ1 e 1Δa.

DICA 02

Use x ∗ y = x(y + 1).

DICA 03

Ordene as quatro raízes.

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Organize o raciocínio antes da conta.

  1. INTERPRETAR
    Com b=1: aΔ1=a2+a−1 e 1Δa=1+a−a2.
  2. ESTRUTURAR
    Se p=aΔ1 e q=1Δa, então p ∗ q=pq+p=p(q+1).
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA
    A equação fica (a2+a−1)(2+a−a2)=0.
  4. CALCULAR
    O fator 2+a−a2=0 dá a=2 ou a=−1. O fator a2+a−1=0 dá a=−1 ± 52, isto é, cerca de 0,62 e −1,62.
  5. CONFERIR
    As duas maiores são 2 e −1 + 52; a soma é 3 + 52, cerca de 2,62. Alternativa E.

SEGUNDO CAMINHO

SEGUNDO CAMINHO

Expandir tudo também funciona, mas é mais longo.

NA PROVA EU FARIA ASSIM

Eu substituiria b=1 logo no início e escreveria a estrela como x(y+1). O produto igual a zero separa a equação em dois fatores quadráticos.

VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.

Tratar ∗ como multiplicação comum. A equação vira (a2+a−1)(1+a−a2)=0, as duas maiores raízes somam 5 e o aluno marca a alternativa A.

DISTRATOR PRINCIPAL

DISTRATOR PRINCIPAL

−1 + 52 (alternativa D) é a maior raiz do primeiro fator. Aparece para quem esquece que o segundo fator, q+1=0, também zera o produto e perde a raiz a=2.

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

RECONHEÇA A ESTRUTURA

Operação definida é uma função disfarçada.

APRENDIZADO TRANSFERÍVEL

O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

Siga a definição, não o símbolo.

ESTRATÉGIA DE TEMPOMeta: 4 minutos.